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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 99

Duas bolas de aço (d = 7,86) estão conectadas por uma barra delgada articulada de peso e arrasto desprezíveis, como na Figura P7.99. Um batente impede a vara de girar no sentido anti-horário. Calcule a velocidade U do ar ao nível do mar para que a vara comece a girar no sentido horário.

Passo 1

E E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nessa questão, temos duas esferas de aço, de massa específica ρ s = 7860   k g / m ³ , uma de diâmetro D 1 = 0,02   m e outra D 2 = 0,01   m . Essas bolas estão conectadas por uma barra de arrasto e peso desprezíveis, como demonstra a figura que ilustra a questão.

As esferas estão imersas em ar, que escoa a uma velocidade desconhecida U . O sistema tem um batente localizado no meio dele, com L = 10   c m de comprimento partindo de cada bola, que impede que a vara gire no sentido horário.

O enunciado então nos pede pra calcular a velocidade U para que a vara comece a girar no sentido horário.

Pra isso, nos próximos passos, eu vou te mostrar como fazer um balanço de momento nesse sistema e como calcular essa velocidade U .

Mas antes da gente ir pro Passo 2, vamos lembrar que para o ar à temperatura ambiente, a massa específica do ar será ρ = 1,2 k g m 3 e sua viscosidade é μ = 1,8 × 10 - 5 P a ∙ s .

Agora sim, vem comigo pra gente matar esse problema juntos!

Passo 2

Em primeiro lugar, vamos fazer um balanço de momento com as forças peso ( W ) e forças de arrasto ( F A ) pra cada uma das esferas olhando pro esquema abaixo:

Como é possível ver, temos quatro forças agindo no sistema. Pra um balanço de momento, queremos M = 0 , pois iremos descobrir qual a velocidade mínima pra que o sistema deixe de estar em equilíbrio.

Como é possível notar, a haste faz um ângulo de θ = 45 ° com a articulação e, portanto, iremos levar isso em consideração quando formos calcular as linhas de ação dessas forças para o balanço de momento, usando relações trigonométricas simples.

Além disso, nosso balanço será feito em sentido horário, e as forças que contribuírem pra que o sistema gire nessa direção serão tomadas como positivas. Do contrário, serão tidas como negativas.

Ufa! Fazendo todas essas considerações, nosso balanço se torna:

M = 0 = F A 1 L sen ⁡ 45 ° - W 1 L cos ⁡ 45 ° - F A 2 L sen ⁡ 45 ° + W 1 L cos ⁡ 45 °

Passo 3

Agora, vamos calcular ou encontrar expressões pra todas as forças.

Pras forças peso, basta multiplicar a massa específica das esferas pela aceleração da gravidade e pelo volume de cada esfera:

W 1 = ρ s g π 6 D 1 3 = 7860   k g / m ³ 9,81   m / s ² π 6 0,02   m 3 = 0,323   N

W 2 = ρ s g π 6 D 2 3 = 7860   k g / m ³ 9,81   m / s ² π 6 0,01   m 3 = 0 , 040   N

Pra calcular a força de arrasto devemos saber quais são os coeficientes de arrasto pra cada esfera.

Supondo um escoamento laminar (que vamos checar no fim!), podemos ir na Tbaela 7.3 na página 495, chegamos a coeficientes de arrasto de C A 1 = C A 2 = 0,47 .

As forças de arrasto podem ser calculadas como:

F A 1 = C A 1 ρ 2 U 2 π 4 D 1 2 = 0,47 1,2   k g / m ³ 2   U 2 π 4 0,02   m 2 = 8,86 × 10 - 5 U ²  

F A 2 = C A 2 ρ 2 U 2 π 4 D 2 2 = 0,47 1,2   k g / m ³ 2   U 2 π 4 0,01   m 2 = 2,21 × 10 - 5 U ²  

Passo 4

Pra finalizar a uestão, podemos substituir os valores e expressões que encontramos no passo anterior no balanço de momento:

8,86 × 10 - 5 U ²   0,1 sen ⁡ 45 ° - 0,323 0,1 cos ⁡ 45 ° - 2,21 × 10 - 5 U 2 0,1 sen ⁡ 45 ° + 0,040   0,1 cos ⁡ 45 ° = 0

Reorganizando e colocando U em evidência:

4,7 × 10 - 5 U 2 = 0,2

U = 65,2   m / s

Vamos agora usar essa velocidade pra calcular o número de Reynolds e ver se nossa suposição sobre o escoamento laminar estava correta.

Vamos usar o maior diâmetro, que vai nos dar o maior Reynolds:

R e = ρ U D 1 μ = 1,2 k g m 3 65,2 m s 0,02   m 1,8 × 10 - 5 P a ∙ s = 8,69 × 10 4

Então sim, nosso escoamento é laminar e portanto nossa suposição estava correta!

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

A velocidade do ar para que a vara comece a girar no sentido horário é U = 65,2   m / s

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