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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 98

Uma bola flutuante de densidade d

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nessa questão, temos uma bola de densidade d < 1 que cai na água a uma velocidade V_0 e penetra uma distância h no tanque, voltando pra cima depois.

Essa distância h pode ser encontrada fazendo um balanço de forças considerando a força de arrasto F_A e o peso aparente P_a p da bola na água.

Além de encontrar essa expressão, o enunciado nos pede também pra calcular a distância de penetração h par ima bola diâmetro D = 0,05 m , densidade d = 0,5 , coeficiente ede arrasto C_A = 0,47 e velocidade inicial V_0 = 10 m // s .

Nos próximos passos, eu vou te mostrar como encontrar a expressão pra h e como encontrar o resultado numérico para as grandezas dadas pelo enunciado.

Mas antes da gente ir pro Passo 2, vamos lembrar que para o ar à temperatura ambiente, a massa específica será rho = 998 (k g)/(m^3) .

Agora sim, vem comigo pra gente matar esse problema juntos!

Passo 2

Em primeiro lugar, vamos fazer um balanço de forças entre o peso aparente P_a p e força de arrasto F_A . Sabemos que essas duas forças devem ser iguais à força devido à velocidade da bola caindo, mas com sentido contrário:

m (d V)/(d t) = - P_a p - F_A

Onde o peso aparente é:

P_a p = (1 - d) rho g ((pi)/(6)) D ³

E onde a força de arrasto é dada por:

F_A = C_A rho (V^2)/(2) (pi)/(4) D ²

Substituindo esta última equação na primeira, teremos:

m (d V)/(d t) = - P_a p - C_A rho (V^2)/(2) (pi)/(4) D ²

Pra resolver essa EDO, devemos separar as variáveis e integrar a velocidade de V_0 a uma velocidade V e o tempo de t = 0 até um tempo t qualquer:

- int_0^t d t = (d V)/(( P_a p // m ) + (rho C_A pi D^2 // 8 m) V ²)

Resolvendo essa integral, iremos obter:

V = sqrt((8 P_a p)/(rho C_A pi D ²)) tg [tg^(- 1) (V_0 sqrt((rho C_A pi D ²)/(8 P_a p))) - t (P_a p)/(m) sqrt((rho C_A pi D ²)/(8 P_a p))]

E, por fim, pra achar a distância de penetração h da bola, devemos integrar essa expressão da velocidade no tempo:

h = int_0^t V d t = (4 m)/(rho C_A pi D ²) ln [1 + V_0^2 (rho C_A pi D ²)/(8 P_a p)]

E agora temos uma expressão pra calcular h .

Passo 3

Pra finalizar a questão, basta substituir as grandezas que foram definidas no enunciado na expressão que deduzimos no passo anterior.

Primeiro, vamo calcular o peso aparente:

P_a p = (1 - 0,5) (998 (k g)/(m^3)) (9,81 (m)/(s^2)) ((pi)/(6)) (0,05 m)^3 = 0,320 N

A massa m é dada por

m = (P_a p)/(g) = (0,320 N)/(9,81 m // s ²) = 0,033 k g

Finalmente calculando h :

h = (4 (0,033 k g))/((998 (k g)/(m^3)) (0,47) pi (0,05 m) ²) ln [1 + (10 m // s)^2 ((998 (k g)/(m^3)) (0,47) pi (0,05 m) ²)/(8 (0,320 N))]

h = 0,178 m

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

A bola penetrará a uma distância h = 0,178 m

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