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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 62

Um elemento de fluido bidimensional de dimensões d x e d y é transladado e distorcido como mostra a Figura P 4 - 60 durante o período de tempo infinitesimal d t = t 2 - t 1 . As componentes da velocidade no ponto P no instante inicial são u e v nas direções x e y respectivamente. Mostre que o módulo da taxa de deformação por cisalhamento com relação ao ponto P no plano x y é

ε x y = 1 2 ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ x

Passo 1

Pela Figura P 4 - 60 , comprovamos que as linhas P A e   P B são inicialmente perpendicular e se cruzam no ponto P . Vamos rever:

Até aí okay, mas o ângulo entre essas duas linhas diminui de π 2 para α a - b no tempo t 2 . Então a tensão de cisalhamento no ponto P é:

ε x y = - 1 2 d d t α a - b  

Passo 2

Quando esse elemento é transladado, o ponto A acaba gerando uma distância e que ainda diminui o ângulo na linha a , ou seja, temos u + ∂ u ∂ x   d x d t para a direita e   v + ∂ v ∂ x   d x d t para cima. “Ah! Mas como assim d x ?” É porquê temos uma diminuição nos eixos em um instante de tempo, a derivada representa isso!

Visualmente, temos:

Portanto, no ponto final (que será representado por um P ' ), temos a seguinte localização do ponto A ' :

d x + ∂ u ∂ x   d x d t

Também precisamos saber o que ocorre no sentido vertical! Um tempo depois,verticalmente, a distância do ponto P ' ao ponto A ' é:

∂ v ∂ x   d x d t

O mesmo serve para o ponto B :

- ∂ u ∂ y   d y d t

E, consequentemente:

d y + ∂ v ∂ y   d y d t

Logo, visualmente fica:

Passo 3

Agora, calculamos cada ângulo segundo seus componentes, da seguinte forma:

α a = arctan ⁡ ∂ v ∂ x   d x d t d x + ∂ u ∂ x   d x d t

α a = arctan ⁡ ∂ v ∂ x   d x d t d x  

α a = ∂ v ∂ x d t

Para α b , temos:

α b = arctan ⁡ - ∂ u ∂ y   d y d t d y + ∂ v ∂ y   d y d t

α b = arctan ⁡ - ∂ u ∂ y   d y d t d y  

α b = - ∂ u ∂ y   d y

Fazendo a diferença α a - b entre os ângulos:

α a - b = π 2 - ∂ u ∂ y   d y - ∂ v ∂ x d t

Assim, podemos encontrar a taxa de deformação por cisalhamento substituindo na nossa expressão do passo 1:

ε x y = - 1 2 d d t π 2 - ∂ u ∂ y   d y - ∂ v ∂ x d t - π 2 = 1 2 ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ x

Prontinho!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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