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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 18

Um campo de velocidade permanente, incompressível e bidimensional é dado pelas seguintes componentes do plano x y :

u = 0,20 + 1,3 ⋅ x + 0,8 5 ⋅ y v = - 0,50 + 0,95 ⋅ x - 1,3 ⋅ y

Calcule o campo de aceleração (encontre expressões para os componentes da aceleração a x e a y ), e calcule a aceleração no ponto ( x ,   y ) = ( 1 ,   2 ) .

Passo 1

O enunciado quer que a gente calcule primeiro o campo de aceleração a → a partir de um campo de velocidade V → que o próprio enunciado informou. Como a aceleração a → é igual à derivada material da velocidade D V → D t , podemos calcular a → derivando a equação de V → dada pela questão.

No entanto, a questão quer primeiro que a gente calcule as componentes a x e a y da aceleração. A equação 4 - 11 do livro calcula esses dois valores.

a x = ∂ u ∂ t + u ⋅ ∂ u ∂ x + v ⋅ ∂ u ∂ y + w ⋅ ∂ u ∂ z

a y = ∂ v ∂ t + u ⋅ ∂ v ∂ x + v ⋅ ∂ v ∂ y + w ⋅ ∂ v ∂ z

onde u é a componente do eixo x da velocidade V → , v é a componente do eixo y da velocidade V → e w é a componente do eixo z da velocidade V → . Como o escoamento é bidimensional a componente do eixo z w da velocidade vale zero. Logo:

a x = ∂ u ∂ t + u ⋅ ∂ u ∂ x + v ⋅ ∂ u ∂ y

a y = ∂ v ∂ t + u ⋅ ∂ v ∂ x + v ⋅ ∂ v ∂ y

Passo 2

O enunciado diz que a componente do eixo x da velocidade u vale:

u = 0,20 + 1,3 ⋅ x + 0,85 ⋅ y

A componente do eixo y da velocidade v vale, segundo a questão:

v = - 0,50 + 0,95 ⋅ x - 1,3 ⋅ y

As derivadas parcias de u e v em relação ao tempo são nulas, porque elas não dependem do tempo t (chamamos essa velocidade independente do tempo de velocidade permanente).

∂ u ∂ t = 0

∂ v ∂ t = 0

As derivadas parciais de u e v em relação a x e y valem:

∂ u ∂ x = ∂ ∂ x 0,20 + 1,3 ⋅ x + 0,85 ⋅ y       ⟹       ∂ u ∂ x = 1,3

∂ u ∂ y = ∂ ∂ y 0,20 + 1,3 ⋅ x + 0,85 ⋅ y       ⟹       ∂ u ∂ y = 0,8 5

∂ v ∂ x = ∂ ∂ x - 0,50 + 0,95 ⋅ x - 1,3 ⋅ y       ⟹       ∂ v ∂ x = 0,95

∂ v ∂ y = ∂ ∂ y - 0,50 + 0,95 ⋅ x - 1,3 ⋅ y       ⟹       ∂ v ∂ y = - 1,3

Passo 3

Substituindo essas equação das derivadas parciais nas fórmulas de a x e a y , encontramos:

a x = ∂ u ∂ t + u ⋅ ∂ u ∂ x + v ⋅ ∂ u ∂ y

a x = 0 + 0,20 + 1,3 ⋅ x + 0,85 ⋅ y ⋅ 1,3 + - 0,50 + 0,95 ⋅ x - 1,3 ⋅ y ⋅ 0,85

a x = - 0,165 + 2,4975 ⋅ x

a y = ∂ v ∂ t + u ⋅ ∂ v ∂ x + v ⋅ ∂ v ∂ y

a y = 0 + 0,20 + 1,3 ⋅ x + 0,85 ⋅ y ⋅ 0,95 + - 0,50 + 0,95 ⋅ x - 1,3 ⋅ y ⋅ - 1,3

a y = 0,84 + 2,4975 ⋅ y

Passo 4

Com essas fórmulas das componentes da aceleração podemos calcular a aceleração do ponto 1 ,   2 . Nesse ponto:

x = 1

y = 2

Substituindo os valores de x e y nas equações das acelerações, encontramos:

a x 1 ,   2 = - 0,165 + 2,4975 ⋅ x       ⟹       a x 1 ,   2 = - 0,165 + 2,4975 ⋅ 1

a x 1 ,   2 = 2 , 3325

a y 1 ,   2 = 0,84 + 2,4975 ⋅ y       ⟹       a y 1 ,   2 = 0,84 + 2,4975 ⋅ 2

a y 1 ,   2 = 5 , 835

Resposta

a x = - 0,165 + 2,4975 ⋅ x

a y = 0,84 + 2,4975 ⋅ y

a x 1 ,   2 = 2 , 3325

a y 1 ,   2 = 5 , 835

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