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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 52

A emissividade de um filamento de tungstênio pode ser aproximada como 0,5 para radiação em comprimentos de onda menores que 1 μ m e 0,15 para radiação superior a 1 μ m. Determine a emissividade média do filamento a (a) 1.500 K e (b) 2.500 K. Além disso, determine a absortividade e a refletividade do filamento em ambas as temperaturas.

Passo 1

Temos que o tungstênio tem um perfil de emissividade

ε λ = ε 1 = 0 , 5 ,               0 ≤ λ < 1   μ m ε 2 = 0 , 15 ,       1   μ m ≤ λ < ∞

Tendo este perfil temos que calcular a emissividade média do tungstênio em duas temperaturas 1.500 K e 2.500 K. E, ao final, determinar a absortividade e refletividade para cada situação.

Passo 2

Vamos começar com a temperatura T = 1.500 K. A emissividade média pode ser calculada por:

ε T = ∫ 0 ∞ ε λ λ , T E b λ λ , T d λ σ T 4

ε T = ∫ 0 1   μ m ε λ λ , T E b λ λ , T d λ + ∫ 1   μ m ∞ ε λ λ , T E b λ λ , T d λ σ T 4

ε T = ∫ 0 1   μ m 0,5 x E b λ λ , T d λ + ∫ 1   μ m ∞ 0 , 15 x E b λ λ , T d λ σ T 4

ε T = 0,5 x ∫ 0 1   μ m E b λ λ , T d λ + 0,15 x ∫ 1   μ m ∞ E b λ λ , T d λ σ T 4

ε T = 0,5 x ∫ 0 1   μ m E b λ λ , T d λ + 0,15 x ( ∫ 0 ∞ E b λ λ , T d λ - ∫ 0 1   μ m E b λ λ , T d λ ) σ T 4

Podemos aproximar ∫ 0 λ E λ , b d λ utilizando a função de radiação do corpo negro f λ :

∫ 0 λ E λ , b d λ = σ T 4 f λ

Vamos usar isso para encontrar a emissividade hemisférica total:

ε T = 0,5 x ∫ 0 1   μ m E b λ λ , T d λ + 0,15 x ( ∫ 0 ∞ E b λ λ , T d λ - ∫ 0 1   μ m E b λ λ , T d λ ) σ T 4

ε T = 0,5 x σ T 4 x f 0 - 1   μ m + 0 , 15 x σ T 4 x ( f 0 - ∞ - f 0 - 1   μ m ) σ T 4

ε T = 0,5 x f 0 - 1   μ m + 0,15 x ( f 0 - ∞ - f 0 - 1   μ m )

Pela tabela 12-2 do capítulo do livro temos que para:

∞ x T → f = 1

1   μ m   x   1 . 500   K = 1.5 00   μ m . K → f = 0,0 13754

Então, nossa emissividade é:

ε T = 0 , 5 x 0,013754 + 0 , 15 x ( 1 - 0,0 13754 )

ε T = 0 , 155

Temos agora que determinar a absortividade e refletividade do tungstênio. Para isso, vamos utilizar a lei de Kirchhoff. Esta lei define que:

ε = α

Então, a absortividade para 1.500 K é α = 0,155. Precisamos ainda da refletividade. Para qualquer corpo:

α + ρ + τ = 1

Assumindo que o filamento de tungstênio é opaco → τ = 0 . Portanto:

α + ρ + 0 = 1

ρ = 1 - α

ρ = 1 - 0,155

ρ = 0,845

Passo 3

Vamos agora repetir o mesmo procedimento para T = 2.500 K. A emissividade média é:

ε T = ∫ 0 ∞ ε λ λ , T E b λ λ , T d λ σ T 4

ε T = ∫ 0 1   μ m ε λ λ , T E b λ λ , T d λ + ∫ 1   μ m ∞ ε λ λ , T E b λ λ , T d λ σ T 4

ε T = ∫ 0 1   μ m 0,5 x E b λ λ , T d λ + ∫ 1   μ m ∞ 0,15 x E b λ λ , T d λ σ T 4

ε T = 0,5 x ∫ 0 1   μ m E b λ λ , T d λ + 0,15 x ∫ 1   μ m ∞ E b λ λ , T d λ σ T 4

ε T = 0,5 x ∫ 0 1   μ m E b λ λ , T d λ + 0,15 x ( ∫ 0 ∞ E b λ λ , T d λ - ∫ 0 1   μ m E b λ λ , T d λ ) σ T 4

Podemos aproximar ∫ 0 λ E λ , b d λ utilizando a função de radiação do corpo negro f λ :

∫ 0 λ E λ , b d λ = σ T 4 f λ

Vamos usar isso para encontrar a emissividade hemisférica total:

ε T = 0,5 x ∫ 0 1   μ m E b λ λ , T d λ + 0,15 x ( ∫ 0 ∞ E b λ λ , T d λ - ∫ 0 1   μ m E b λ λ , T d λ ) σ T 4

ε T = 0,5 x σ T 4 x f 0 - 1   μ m + 0,15 x σ T 4 x ( f 0 - ∞ - f 0 - 1   μ m ) σ T 4

ε T = 0,5 x f 0 - 1   μ m + 0,15 x ( f 0 - ∞ - f 0 - 1   μ m )

Pela tabela 12-2 do capítulo do livro temos que para:

∞ x T → f = 1

1   μ m   x   2 . 500   K = 2 . 500   μ m . K → f = 0 , 161688

Então, nossa emissividade é:

ε T = 0,5 x 0 , 161688 + 0,15 x ( 1 - 0 , 161688 )

ε T = 0 , 207

Temos agora que determinar a absortividade e refletividade do tungstênio. Para isso, vamos utilizar a lei de Kirchhoff. Esta lei define que:

ε = α

Então, a absortividade para 1.500 K é α = 0,207. Precisamos ainda da refletividade. Para qualquer corpo:

α + ρ + τ = 1

Assumindo que o filamento de tungstênio é opaco → τ = 0 . Portanto:

α + ρ + 0 = 1

ρ = 1 - α

ρ = 1 - 0 , 207

ρ = 0,793

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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