Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 47
A equação diferencial para vibrações de pequena amplitude de uma viga simples é dada por
em que
massa específica do material da viga
área da seção transversal
momento de inércia de área
módulo de Young
Use apenas as grandezas , e para adimensionalizar , e e reescreva a equação diferencial na forma adimensional. Alguns parâmetros permanecem? Eles poderiam ser eliminados por manipulações adicionais de variáveis?
Passo 1
Para resolver esta questão basta adimensionalizar as variáveis utilizando as constantes de escala dadas no exercício. A adimensionalização de e é simples, basta os dividirmos pela raiz de :
Para o tempo vamos precisar falar uma análise das constates de escala. A dimensão de é , e olhando para as constantes de escala vemos que a dimensão tempo aparece apenas no módulo de Young (o módulo de Young possui as mesmas dimensões que a pressão) . De cara podemos observar que precisaremos aplicar a raiz quadrada, mas e em relação às outras dimensões? Bom, precisaremos dar um jeito nelas utilizando e . Se fizermos o produto a dimensão obtida é , opaaa, se multiplicarmos pelo inverso de e em seguida aplicamos a raiz, vamos ter um parâmetro com dimensão :
Sendo assim, é só multiplicar por :
Passo 2
Substituindo os parâmetros na equação dada no problema pelos parâmetros adimensionais:
Dividindo todos os termos por :
Passo 3
Neste caso ainda permaneceram parâmetros, o termo
Para resolver isto, vamos precisar utilizar o (que possui dimensão ) na hora de adimensionalizar nossas variáveis, podemos fazer a seguinte adimensionalização:
Sendo assim, a equação adimensionalizada seria:
Dividindo todos os termos por :
Resposta
A equação adimensionalizada com as grandezas especificadas é:
Parâmetros permanecem , mas podem ser eliminados com manipulações adicionais de variáveis .