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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 42

Um inventor propõe fabricar um “cronômetro viscoso” colocando um cilindro pesado dentro de outro cilindro ligeiramente maior contendo um líquido viscoso, formando assim uma película anular delgada entre os dois cilindros. Analise o campo de escoamento criado, quando o aparelho é invertido e o cilindro interno começa a deslizar para baixo sob a ação da gravidade. Seria este sistema um marcador de tempo satisfatório? se afirmativo, para qual intervalo de tempo? Qual seria o efeito de uma mudança de temperatura sobre o tempo medido?

Passo 1

Assumindo que a ≪ D e consequentemente o comprimento l = 2 π R , podemos usar a equação da vazão:

Q l = U a 2 - 1 12 μ ∂ p ∂ x a 3

Q 2 π R = U a 2 - 1 12 μ ∂ p ∂ x a 3

Como o cilindro está em queda, o gradiente de pressão é:

∂ p ∂ x = - ∆ p v L

Portanto, substituindo na equação, temos:

Q 2 π R = U a 2 - 1 12 μ - ∆ p v L a 3

Q π D = U a 2 + ∆ p v a 3 12 μ L

Q = π D U a 2 + ∆ p v a 3 12 μ L

A mudança de pressão devido a movimentação do cilindro é:

∆ p = ρ l g L + ∆ p v

Fazendo uma somatória de forças que são exercidas no cilindro, temos:

∑ F x = m a = ∆ p π D 2 4 - m g + F V

Considerando que não há aceleração, ou seja a = 0

A massa do cilindro pode ser calculada por:

m = ρ c π D 2 4 L

A força de atrito F V pode ser calculada como:

F V = τ z π D L

Sabendo que a tesão de cisalhamento é:

τ z = μ U a - a 2 ∂ p ∂ x

τ z = μ U a + a 2 ∆ p v L

Substituindo tudo na somatória de forças, temos:

∆ p π D 2 4 - ρ c π D 2 4 L g + μ U a + a 2 ∆ p v L π D L = 0

∆ p = ρ c g L - μ U a + a 2 ∆ p v L 4 L D

Como Q = U . A = U . π D 2 4 , igualando com a vazão calculada anteriormente, temos:

U . π D 2 4 = π D U a 2 + ∆ p v a 3 12 μ L

U . D 4 = U a 2 + ∆ p v a 3 12 μ L

U . D 4 - U a 2 12 μ L = ∆ p v a 3

∆ p v = U D 4 - U a 2   12 μ L a 3

Como a ≪ D a velocidade pode-se considerar U a = 0 , logo:

∆ p v = U D 4   12 μ L a 3

∆ p v =   3 μ L U D a 3

Passo 2

Com isso, podemos substituir esses resultados na equação abaixo:

∆ p = ρ l g L + ∆ p v

ρ c g L - μ U a + a 2 ∆ p v L 4 L D = ρ l g L + 3 μ L U D a 3

Simplificando, temos que:

ρ c - ρ l g L = 3 μ U L D a 3 + 4 μ U L a D + 6 μ U L a 2

Considerando que 3 μ U L D a 3 ≫ 4 μ U L a D + 6 μ U L a 2 podemos dizer que:

ρ c - ρ l g L = 3 μ U L D a 3

Portanto, a velocidade de deslizamento é:

U = ρ c - ρ l g a 3 3 μ D

O intervalo de tempo para que o cilindro percorra uma distância H é:

∆ t = H U = 3 μ D ρ c - ρ l g a 3

Passo 3

Se houvesse um aumento de temperatura a viscosidade iria diminuir e consequentemente a velocidade de queda seria maior.

Para que esse sistema fosse um marcador de tempo satisfatório, é necessário que não haja mudanças de temperatura que pudessem alterar a viscosidade do fluido e nem as dimensões dos cilindros, o que poderia modificar a velocidade de queda e consequentemente a marcação de tempo.

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