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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 56

Para o escoamento descrito no Problema 8.55 mostre que a vazão volumétrica é dada por

Q = - π R 4 8 μ ∂ p ∂ x 1 - k 4 - 1 - k 2 2 ln ⁡ 1 k

Encontre uma expressão para a velocidade média. Compare o caso limite, k   →   0 , com a expressão correspondente para escoamento em um tubo circular.

Passo 1

Muito bem, podemos determinar a vazão volumétrica a partir da equação abaixo:

Q = ∫ u d A = ∫ k R R u 2 π r d r = 2 π ∫ k R R u r d r

Passo 2

Agora basta resolvermos ela, vamos resolver juntos?

Q = 2 π - R 2 4 μ ∂ p ∂ x ∫ k R R r - r 3 R 2 + 1 - k 2 ln ⁡ 1 k r ln ⁡ r R d r

Q = - π R 4 2 μ ∂ p ∂ x ∫ k 1 r R - r R 3 + 1 - k 2 ln ⁡ 1 k r R ln ⁡ r R d r R

Q = - π R 4 2 μ ∂ p ∂ x 1 2 r R 2 - 1 4 r R 4 + 1 - k 2 ln ⁡ 1 k   r R 2 1 2 ln ⁡ r R - 1 4   k 1

Q = - π R 4 2 μ ∂ p ∂ x 1 2 - k 2 2 - 1 4 + k 4 4 + 1 - k 2 ln ⁡ 1 k - 1 4 - k 2 1 2 ln ⁡ k - 1 4

Q = - π R 4 2 μ ∂ p ∂ x 1 4 - k 2 2 + k 4 4 + 1 - k 2 ln ⁡ 1 k - 1 4 + k 2 4 - k 2 1 2 ln ⁡ k

Q = - π R 4 2 μ ∂ p ∂ x 1 - 2 k 2 + k 4 4 + 1 - k 2 ln ⁡ 1 k k 2 - 1 4 - 1 - k 2 ln ⁡ 1 k k 2 1 2 ln ⁡ k

Q = - π R 4 2 μ ∂ p ∂ x 1 - 2 k 2 + k 4 4 - 1 - k 2 2 4 ln ⁡ 1 k + k 2 - k 4 2

Q = - π R 4 2 μ ∂ p ∂ x 1 - 2 k 2 + k 4 + 2 k 2 - 2 k 4 4 - 1 - k 2 2 4 ln ⁡ 1 k

Q = - π R 4 8 μ ∂ p ∂ x 1 - k 4 - 1 - k 2 2 ln ⁡ 1 k

Passo 3

Agora podemos determinar a velocidade média que é dada pela equação:

V - = Q A

Porém a área teremos que calcular a partir da equação abaixo:

A = ∫ d A = ∫ 2 π r d r = 2 π R 2 ∫ k 1 r R d r R

A = 2 π R 2 1 2   r R 2 k 1 = 2 π R 2 × 1 2 1 - k 2 = π R 2 ( 1 - k 2 )

Logo...

V - = Q A = - π R 4 8 μ ∂ p ∂ x × 1 π R 2 1 - k 4 1 - k 2 - 1 - k 2 ln ⁡ 1 k  

Resposta

Portanto temos que:

V - = - π R 4 8 μ ∂ p ∂ x × 1 π R 2 1 - k 4 1 - k 2 - 1 - k 2 ln ⁡ 1 k  

Para k → 0

Q = - π R 4 8 μ ∂ p ∂ x         e         V - = - R 2 8 μ ∂ p ∂ x  

Logo, está de acordo com os resultados para escoamento em um tubo circular.

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