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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 53

Considere escoamento laminar completamente desenvolvido no espaço anular entre dois tubos concêntricos. O tubo externo é estacionário e o tubo interno move na direção x com velocidade V . Considere gradiente axial de pressão zero ( ∂ p / ∂ x   =   0 ) . Obtenha uma expressão geral para a tensão de cisalhamento, τ , como uma função do raio, r , em termos de uma constante, C 1 . Obtenha uma expressão geral para o perfil de velocidade, u ( r ) , em termos de duas constantes, C 1 e C 2 . Obtenha expressões para C 1 e C 2 .

Passo 1

Vamos lá, como primeiro passo, iremos aplicar a equação de momento para a componente x , e para isso iremos usar o volume de controle anular, portanto:

F s x + F b x = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ d ∀ + ∫ S C u ρ V ⃑ d A ⃑

τ r x = μ d u d r = τ  

Passo 2

Agora iremos assumir algumas condições, ou seja:

F b x = 0

E s c o a m e n t o   e m   r e g i m e   p e r m a n e n t e

E s c o a m e n t o   c o m p e l t a m e n t e   d e s e n v o l v i d o

Então...

F s x = F 1 + F 2 = τ + d τ d r d r 2 2 π r + d r 2 d x - τ - d τ d r d r 2 2 π r - d r 2 d x = 0

Passo 3

Note que...

τ + r d τ d r = 0       o u       d d r r τ = 0

r τ = c 1       o u       τ = c 1 r

Porém também temos...

τ = μ d u d r

d u d r = c 1 μ r

Integrando...

u = c 1 μ ln ⁡ r + c 2

Passo 4

Para avaliarmos as constantes c 1 e c 2 , usaremos as condições de contorno...

Para r = r i ; u = V 0 :

V 0 = c 1 μ ln ⁡ r i + c 2

Para r = r 0 ; u = 0 :

0 = c 1 μ ln ⁡ r 0 + c 2

c 2 = - c 1 μ ln ⁡ r 0

Subtraindo V 0 = c 1 μ ln ⁡ r i r 0 ou c 1 = μ V 0 ln ⁡ r i r 0 , então c 2 = - V 0 ln ⁡ r 0 ln ⁡ r i r 0 .

Resposta

Portanto, por fim teremos:

u = V 0 ln ⁡ r i r 0 ln ⁡ r - ln ⁡ r i = V 0 ln ⁡ r r 0 ln ⁡ r i r 0

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