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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 65

Um escoamento incompressível bidimensional é definido por

u = K y x 2 + y 2 ; v = K x x 2 + y 2

em que K = constante. Esse escoamento é irrotacional? Em caso afirmativo, encontre seu potencial de velocidade, faça um esboço de algumas linhas equipotenciais e interprete o padrão de escoamento.

Passo 1

Bora que essa é fácil!

Vamos checar se o escoamento é irrotacional:

ω z = 1 2 ∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y

2 ω z = K x 2 + y 2 - 2 K x 2 x 2 + y 2 2 + K x 2 + y 2 - 2 K y 2 x 2 + y 2 2 =

= 2 K x 2 + y 2 - 2 K x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 = 0

Portanto o escoamento é irrotacional. Então podemos encontrar seu potencial de velocidade:

u =   ∂ ϕ ∂ x = - K y x 2 + y 2 ; v =   ∂ ϕ ∂ y = K x x 2 + y 2  

Integrando as equações e igualando-as:

ϕ = K t a n - 1 y x + c y = K t a n - 1 y x + c x

Daí:

ϕ = K t a n - 1 y x = k θ

Plotando-a:

Resposta

O escoamento é irrotacional e seu potencial de velocidade é:

ϕ = k θ

Conforme o gráfico abaixo o escoamento representa um vórtex que tem sentido anti-horário.

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