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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 38

Uma esfera de cobre com 10 mm de diâmetro, inicialmente a uma temperatura elevada Ti especificada, é temperada em um banho contendo água saturada (1 atm). Usando o método da capacitância global da Seção 5.3.3, estime o tempo necessário para resfriar a esfera (a) de Ti = 130°C até 110°C e (b) de Ti = 550°C até 220°C. Use as temperaturas médias na esfera na avaliação das temperaturas. Represente graficamente o histórico da temperatura para cada um dos processos de têmpera.

Passo 1

Vamos lá! Nosso enunciado quer que a gente estime o tempo para resfriar a esfera, em duas situações diferentes, beleza?

Para isso vamos precisar de dados adicionais… Fica frio! É só a gente visitar o anexo do livro, lá na tabela A-1, com T = 130 + 120 / 2 :

ρ = 8933   k g / m ³ c p = 392   J / k g . K

Agora com T = 550 + 220 / 2 :

c p = 422   J / k g . K

Na tabela A-11:

ε = 0,04

Na tabela A-6, com T = 373   K :

ρ l = 1 v f = 958   k g / m ³ ρ v = 1 v g = 0,596   k g / m ³ h f g = 2257   k J / k g

c p ,   l = 4,217   k J / k g . K μ l = 279   .   10 - 6   N . s / m ² σ = 58,9   .   10 - 3   N / m

P r = 1,76

E na tabela A-4, com T f = T s + T s a t / 2 ≈ 515   K

ρ v = 1 v g = 0,428   k g / m ³ c p ,   v = 1,989   k J / k g . K v v = 4,13   .   10 - 5   m ² / s

k v = 0,0351   W / m . K

Beleza agora podemos achar o que ele quer!

Passo 2

O tempo para resfriar a esfera nós podemos encontrar usando essa relação aqui, olha só:

θ θ i = T - T s a t T i - T s a t = n   .   C   .   A s ,   c   .   T i - T s a t n ρ   .   V   .   c   .   t + 1 - 1 / n

t = ρ   .   V   .   c n   .   C   .   A s ,   c   .   T i - T s a t n   .   T - T s a t T i - T s a t - n - 1

Mas pra chegar aí temos que encontrar o C antes… No primeiro caso do problema, temos o caminho de T i = 130 ° C até T i = 110 ° C e um T s a t = 100 ° C , a equação para encontrar o C será:

C = μ l   .   h f g   .   g   .   ρ l - ρ v σ 1 / 2   .   c p ,   l C s ,   f   .   h f g   .   P r l m 3

E vamos usar um C s ,   f = 0,0128 , m = 1,0 :

C = 279   .   10 - 6   .   2257   .   10 3   .   9,8   .   958 - 0,596 58,9   .   10 - 3 1 / 2   .   4217 0,0128   .   2257   .   10 3   .   1,76 1 3

C = 143   W / m ² . K ³

Agora sim, podemos encontrar o tempo, certo? Vamos ter que considerar n = 2 :

t = 8933   .   395   .   0,010 6 2   .   143   .   130 - 100 2   .   110 - 100 130 - 100 - 2 - 1

t = 0,18   s

Passo 3

Agora vamos para a segunda parte, onde o caminho de T i = 550 ° C até T i = 220 ° C e com nosso T s a t = 100 ° C , belezinha?

Nesse momento o nosso C , vai ser diferente, olha só:

C = 0,67   .   k v D   .   g   .   ρ l - ρ v   .   h f g '   .   D ³ v v   .   k v 1 / 4

Opa! Ainda falta achar esse h f g ' :

h f g ' = h f g + 0,80   .   c p ,   v   .   T - T s a t

h f g ' = 2257   .   10 3 + 0,80   .   1,989   .   550 + 220 2 - 100

h f g ' = 2710   .   10 3   J / k g

Teremos então:

C = 0,67   .   0,0351 0,010   .   9,8   .   958 - 0,428   .   2710   .   10 3   .   0,010 ³ 4,13   .   10 - 5   .   0,0351 1 / 4

C = 856   W / m ² . K 3 / 4

Agora simmm, partiu encontrar o tempo! Vamos nesse caso considerar n =   - 1 / 4 :

t = 8933   .   422   .   0,010 6 - 1 / 4   .   856   .   550 - 100 - 1 / 4   .   220 - 100 550 - 100 - ( - 1 / 4 ) - 1

t = 38   s

Uhull!! Conseguimosss!

Resposta

  1. t = 0,18   s

  2. t = 38   s
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