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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 105

Estenda o Problema P3.104 para o caso em que o foguete sofre uma força de arrasto do ar, F = c V , em que c é uma constante. Considerando que o combustível não acaba, determine ω ( t ) e encontre a velocidade angular terminal, isto é, o movimento final quando a aceleração angular é nula. Aplique o resultado ao caso M 0 = 6   k g ,   R = 3   m ,   m ˙ = 0,05   k g / s ,   V s = 1100   m / s   e   c = 0,075   N ⋅ s / m e determine a velocidade angular após 12 s de queima.

Passo 1

Opa, tamo denovo aqui! Bora lá!

Partindo da mesma relação de movimento do problema anterior, teremos:

m d ω d t = m ˙ V s R - c ω

em que, m = M 0 - m ˙ t . Com ω = 0 quando t = 0 .

Utilizando separação de variáveis, teremos:

∫ 0 ω d ω m ˙ V s R - c ω = ∫ 0 t d t M 0 - m ˙ t

ω = m ˙ V s R c 1 - 1 - m ˙ t M 0 c m ˙

Passo 2

Não teremos na realidade uma velocidade angular terminal, mas vamos colocar no termo diferencial a nossa aceleração nula, com isso, vamos obter uma estimativa para a nossa velocidade angular final, veja:

d ω d t = 0 → m ˙ V s R - c ω = 0 → ω t e r m i n a l = m ˙ V s R c

Passo 3

Substituindo os dados no enunciado, teremos:

ω t = 12   s = 0,05 k g s 1100 m s 3 m 0,075   N ⋅ s m [ 1 - 1 - 0,05 k g s 12   s 6   k g 0,075 0,05

ω = 36   r a d / s

Resposta

ω = m ˙ V s R c 1 - 1 - m ˙ t M 0 c m ˙

ω t e r m i n a l = m ˙ V s R c

ω ( t = 12 s ) = 36   r a d / s

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