Em um experimento para controle de poluição, diminutas partículas sólidas (massa típica kg) são abandonadas no ar. A velocidade terminal das partículas de 5 cm é medida. O arrasto sobre as partículas é dado por em que é a velocidade instantânea da partícula. Encontre o valor da constante k. Encontre o tempo necessário para se atingir 99% da velocidade terminal.

O problema diz pra a gente que:

Quando , :

Isolando :

Mas aqui a gente engasga em um problema! Não temos a !!!

Depois de muito analizar, muito quebrar a cabeça fomos consultar a versão original do livro e descobrimos que nele a velocidade terminal é dada, e é porem o diâmetro da partícula não é dado, então acreditamos que tenha ocorrido algum erro de digitação!

Daqui pra frente vamos considerar , combinado?!

Só precisamos converter para :

Isolando e adotando :

Para achar o tempo que a partícula leva pra ter vamos ter que considerar uma situação onde não é igual a , nesse caso teremos uma força resultante diferente de zero!

Não conhecemos , mas considerando a segunda lei de newton podemos fazer:

Não conhecemos a aceleração resultante , mas aqui vem um pulo do gato, presta só atenção!!

Ahráaa! Agora ficamos com:

Podemos arrumar assim:

Se a gente colocar tudo que tem pro mesmo lado, a gente pode integrar, certo?

Integrando:

Calculando a integral, do lado esquerdo é fácil

Agora para o lado direito iremos fazer por substituição, nossa integral é

Usaremos a seguinte substituição:

Substituindo:

Agora desfazendo nossa substituição e aplicando os limites da integral

Multiplicando o menos para dentro da nossa expressão:

E lembrando que subtração de logaritmos é o logaritmo da divisão:

Agora, é só substituir esses valores na nossa expressão e teremos:

Encontramos uma expressão para o nosso tempo.

Sabendo que:

Substituindo tudo que temos:

Uhuuuul!!!