Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 14
A Figura P1.14 mostra o escoamento da água sobre uma barragem. Sabe-se que a vazão em volume depende somente da largura da soleira , da aceleração da gravidade e da altura da lâmina d’água a montante , acima da soleira da barragem. Sabe-se também que é proporcional a . Qual é a forma da única relação dimensionalmente homogênea possível para essa vazão?
Passo 1
Bom, o enunciado diz que a vazão é proporcional a que é a altura da barragem de água, a largura e é a gravidade. A parte do lado direito da equação precisa ter as mesmas dimensões que a parte esquerda.
A parte esquerda é a própria vazão Q, que tem dimensão:
Então a direita também precisa ter a mesma dimensão, como ela é composta pelas grandezas que o enunciado fala, vamos primeiro escrever cada uma dessas grandezas em termos de suas dimensões:
Passo 2
Como o enunciado fala que a vazão é proporcional a , a equação vai ter essa cara:
Sendo que ainda não sabemos a forma de , mas como dá para ver no passo 1, o tempo na gravidade está ao quadrado, mas na vazão não. Então vamos precisar tirar raiz da gravidade primeiro para ficar homogêneo. Vai ficar algo desse tipo:
Sobrando agora uma função .
Passo 3
Mas ainda não deixa a equação homogênea:
Dá para reparar que quando tiramos a raiz da gravidade, tiramos a raiz do que tá ali dentro.
Para compensar isso a gente pode usar a , escrevendo ela assim:
Agora o termo que depende de tem a dimensão:
E isso compensa o termo que não deixava a equação homogênea.
Passo 4
A equação então passa a ser:
Ou:
E essa equação é homogênea, já que o lado direito tem mesma dimensão que o esquerdo.