Enunciado

A Figura PA10.5 mostra um modelo hidráulico de um vertedouro composto, que combina duas formas diferentes. (a) Excluindo a medição, para a qual ele pode ser inadequado, qual poderia ser a razão de engenharia para o uso desse tipo de vertedouro? (b) Para o rio protótipo, considere que ambas as seções tenham lados com ângulo de 70° em relação à horizontal, tendo a seção do fundo uma base de 2 m de largura e a seção superior uma largura de 4,5 m, incluindo a parte recortada. As alturas das seções horizontais inferior e superior são 1 m e 2 m, respectivamente. Use estimativas de engenharia para fazer um gráfico da profundidade da água a montante em função da vazão do Rio Petaluma no intervalo de 0 a 4 m3/s. (c) Para qual vazão do rio a água transbordará por cima da barragem?

Passo 1

A letra (a) nos pergunta qual poderia ser a razão de engenharia para o uso desse tipo de vertedouro.

Bem, ao usarmos o vertedouro composto com uma parte inferior mais estreita é para manter uma profundidade razoável a montante a uma baixa vazão, além de manter uma profundidade menor em altas vazões. Isso também permite medições mais precisas em vazões baixas.

Passo 2

A letra (b) nos pede pra considerar um vertedouro composto que tenha ambos os lados com ângulo de 70° relação à horizontal, tendo a seção do fundo uma base de 2 m de largura e a seção superior uma largura de 4,5 m.

Além disso, Aa alturas das seções horizontais inferior e superior são 1 m e 2 m, respectivamente, como nessa imagem esquemática que fizemos:

Como não temos uma fórmula específica pra esse tipo de vertedouro, vamos considera-lo um retângulo com contração lateral, com a equação dada na Tabela 10.2b, encontrada na página 742:

Q = 0,581 b - 0,1 H g 1 / 2 H 3 / 2

Vamos dividir então o problema entre o trapézio de baixo e o trapézio do alto da figura. Vamos descobrir uma largura média b m é d pra cada um deles e usar pra calcular a vazão volumétrica pra cada um.

Primeiro, pro trapézio de baixo. Usando algumas relações trigonométricas simples, a gente consegue descobrir que a base maior do trapézio de baixo mede 2,728   m . Ou seja, b m é d , b a i x o   = 2,720 + 2 2 = 2,364   m .

Vamos ter uma vazão de:

Q b a i x o = 0,581 2,364   m - 0,1 1   m 9,81 m s 2 1 2 1   m 3 / 2 = 4,1   m 3 / s

Como a letra (b) pede pra gente plotar um gráfico de Q variando de 0 a 4   m 3 / s , pelo valor de vazão pro trapézio que a gente calculou, sabemos que o nível não vai passar de H = 1   m .

Podemos usar b = 2,364   m na equação pra vazão e plotar um gráfico de H em função de Q :

Passo 3

Pra finalizar a questão, devemos resolver a letra (c) e calcular pra qual vazão a água do rio vai transbordar a barragem.

Bem, vamos então calcular b m é d pro trapézio de cima. Usando novamente algumas relações trigonométricas simples, a gente consegue descobrir que a base maior do trapézio de cima mede 5,23   m . Ou seja, b m é d , c i m a   = 4,5 + 5 , 2 3 2 = 4,87   m .

Além disso, devemos considerar H = 1   m apenas considerando o trapézio de cima, pois a altura total da barragem é de 2   m .

Vamos então ter uma vazão de:

Q c i m a = 0,581 4,87   m - 0,1 1   m 9,81 m s 2 1 2 1   m 3 / 2 = 8,7   m 3 / s

Agora podemos calcular a vazão total somando as vazões das duas partes da barragem:

Q t o t a l = Q b a i x o + Q c i m a = 4,1 + 8,7 = 12,8   m 3 / s

Ou seja, pra essa vazão o rio irá transbordar acima da barragem.

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

(b)

(c) A vazão do rio vazão que fará a água transbordar por cima da barragem é Q t o t a l = 12,8   m 3 / s

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