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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 1.Exercício - Ex. 16

Um fluido escoa sobre uma placa com o diagrama dado. Pede-se

  1. v = f y ;
  2. A tensão de cisalhamento junto à placa.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A nossa estratégia para resolver esta questão é encontrar uma equação para a velocidade que expresse o comportamento do sistema.

Como o sistema representa uma parábola, podemos então representar a equação da velocidade como:

v = a y 2 + b y + c

Onde a , b e c são constantes a serem descobertas.

Passo 2

Da figura do enunciado, sabemos que para y = 2   m , temos que v = 5   m / s e para y = 0   m , temos que v = 2   m / s . Portanto:

5 = a 2 2 + b 2 + c

Temos também a condição em que para y = 0 , v = 2 , logo:

2 = a 0 2 + b 0 + c

c = 2

Sabemos que, para y = 2   m , o gradiente de velocidade é:

d v d y = 0

Derivando a equação da velocidade, temos que:

d v d y = 2 a y + b

Aplicando a condição, temos que:

0 = 2 a 2 + b

b = - 4 a

Substituindo na primeira relação encontrada, temos que:

5 = a 2 2 + ( - 4 a ) 2 + 2

a = - 0,75

Logo:

b = - 4 - 0,75

b = 3

A nossa equação da velocidade será:

v = - 0,75 y 2 + 3 y + 2

Passo 3

Também queremos a tensão de cisalhamento relacionadas ao gradiente quando y = 0 . Sabendo que:

τ = μ d v d y

Temos que:

P a r a   y = 0 → d v d y = 2 a 0 + b = b

d v d y = 3   s - 1

Logo:

τ = 10 - 2 3

τ = 3 × 10 - 2   N / m 2

Resposta

a )   v = - 0,75 y 2 + 3 y + 2

b )   τ = 3 × 10 - 2   N / m 2

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