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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 27

Usando os dados do Problema 2.26, determine e trace a forma da linha de emissão produzida após o primeiro segundo de escoamento.

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Primeiro, temos que encontrar as as equações para trajetória na forma:

x p t = x t , x 0 , y 0 , t 0

y p ( t ) = y ( t , x 0 , y 0 , t 0 )

Onde x 0 , y 0 é a posição da partícula no instante t = t 0 . Com isso, temos:

x e t 0 = x t , x 0 , y 0 , t 0

y e ( t 0 ) = y ( t , x 0 , y 0 , t 0 )

Passo 2

Agora, para determinarmos a trajetória, vamos encontrar x ( t ) :

d x d t = u = u 0

Separando as variáveis e integrando:

d x = u 0   d t x = x 0 + u 0 ( t - t 0 )

Para y t , temos: d y d t = v = v 0 sin ⁡ ω t - x u 0 d y d t = v = v 0 sin ⁡ ω t - x 0 + u 0 t - t 0 u 0 d y = v 0 sin ⁡ ω t 0 - x 0 u 0 d t

Novamente, separando as variáveis e integrando: y = y 0 + v 0 sin ⁡ ω t 0 - x 0 u 0 ( t - t 0 )

Passo 3

Por fim, para a linha de emissão, temos:

x = x 0 + u 0 ( t - t 0 )

y = y 0 + v 0 sin ⁡ ω t 0 - x 0 u 0 ( t - t 0 )

Onde x 0 = y 0 = 0 . Logo:

x l e t 0 = u 0 t - t 0 y l e t 0 = v 0 sin ⁡ ω t 0 ( t - t 0 )

Portanto, nossos gráfico fica assim:

Resposta

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