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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 6

Um fluido incompressível escoa entre duas placas paralelas estacionárias infinitas. O perfil de velocidade é dado por u = u m á x ( A y 2 + B y + C ) , na qual A, B e C são constantes e y é a distância medida para cima a partir da placa inferior. O espaçamento entre as placas é h . Use condições de contorno apropriadas para expressar o módulo e as unidades SI das constantes em termos de h . Desenvolva uma expressão para a vazão em volume por unidade de profundidade e avalie a razão V - / u m á x .

Passo 1

Tá legal, vamos começar esse exercício escrevendo as condições de contorno para o problema. Nós sabemos que a velocidade nas paredes será igual a zero, de forma que:

y = 0 → u = 0

y = h → u = 0

E, também, conforme vimos nessa seção, a velocidade máxima será na linha de centro do escoamento, então:

y = h 2 → u = u m á x

Então, beleza. Aplicando a primeira condição de contorno para a equação da velocidade dada no enunciado, temos:

0 = u m á x A 0 2 + B 0 + C → C = 0

Agora, da segunda condição, temos:

0 = u m á x A h 2 + B h + 0 → u m á x A h 2 + B h = 0

Como sabemos que u m á x não pode ser igual a zero, então, o que nos resta, é que a outra parcela seja igual a zero, então, temos:

A h 2 + B h = 0 → B = - A h

E, agora, para a nossa terceira condição de contorno, temos:

u m á x = u m á x A h 2 2 + B h 2 + 0 → 1 = A h 2 4 + B h 2

Então, substituindo a expressão encontrada para B nessa última equação, chegamos em:

1 = A h 2 4 + - A h h 2 → 1 = A h 2 4 - A h 2 2 → 1 = - A h 2 4 → A = - 4 h 2

Então, substituindo o valor de A na expressão para B , temos:

B = - A h = - - 4 h 2 h → B = 4 h

E, dessa forma, a equação para a velocidade máxima será:

u = u m á x A y 2 + B y + C = u m á x - 4 h 2 y 2 + 4 h y + 0

u = 4 u m á x - y h 2 + y h

Passo 2

Agora, para encontrar uma expressão para a vazão por unidade de profundidade, vamos utilizar a definição de vazão, dada por:

Q = ∫ V d A = ∫ 0 h u b d y → Q b = ∫ 0 h u d y

Então, agora, substituindo a expressão encontrada para u no passo 1, temos:

Q b = ∫ 0 h 4 u m á x - y h 2 + y h d y

Então, a integral se torna:

Q b = 4 u m á x ∫ 0 h - y h 2 + y h d y

Então, resolvendo essa integral, temos:

Q b = 4 u m á x - y 3 3 h 2 + y 2 2 h 0 h

Substituindo os limites de integração, temos:

Q b = 4 u m á x - h 3 3 h 2 + h 2 2 h - 0 → Q b = 4 u m á x - h 3 + h 2

Q b = 4 u m á x - 2 h + 3 h 6 → Q b = 2 h u m á x 3

Passo 3

E, agora, para avaliar a razão V - / u m á x , nós iremos utilizar novamente a definição de vazão, só que agora na forma:

Q = V - A

Então, a equação se torna:

Q = V - b h → Q b = V - h

Substituindo a expressão encontrada no passo 2 para a vazão por unidade de profundidade nessa equação, temos:

2 h u m á x 3 = V - h → V - u m á x = 2 3

Resposta

A = - 4 h 2 ; B = 4 h ; C = 0

Q b = 2 h u m á x 3

V - u m á x = 2 3

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