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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 30

Dois líquidos imiscíveis de mesma massa específica estão escoando para baixo sobre uma superfície inclinada de 60° em relação à horizontal. As duas camadas de fluidos têm a mesma espessura h = 10   m m ; a viscosidade cinemática do fluido superior é um quinto daquela do fluido inferior, que é ν i n f e r i o r = 0,01   m 2 / s . Determine a velocidade na interface e a velocidade na superfície livre. Faça um gráfico da distribuição de velocidade.

Passo 1

Beleza, conforme vimos no Exemplo 8.3 dessa seção, ao analisar um elemento de fluido com movimento na vertical, chegamos em:

d 2 u d y 2 = - ρ g μ

No entanto, esse valor ocorre para o deslocamento unicamente em y , no nosso caso temos uma superfície inclinada, então a equação se torna:

d 2 u d y 2 = - ρ g s e n θ μ

Então, vamos aplicar essa equação ao fluido inferior e ao superior, então, integrando essa expressão, temos:

d u i d y = - ρ g y s e n θ μ i + c 1

Integrando novamente, temos:

u i = - ρ g y 2 s e n θ 2 μ i + c 1 y + c 2

Agora, da mesma forma, para o superior, teremos:

d u s d y = - ρ g y s e n θ μ s + c 3

Integrando novamente, temos:

u s = - ρ g y 2 s e n θ 2 μ s + c 3 y + c 4

Passo 2

Tá legal, como temos que encontrar 4 constantes, precisamos de 4 condições de contorno. Começando pela velocidade, teremos velocidade igual a zero na interface do líquido inferior e na interface entre os líquidos, teremos a mesma velocidade para os dois, então:

y = 0 → u i = 0

y = h → u i = u s

Agora, sabemos também que não haverá força de cisalhamento na superfície livre do líquido superior, então:

y = 2 h → τ s = μ s d u s d y = 0

E, para nossa última condição de contorno, iremos utilizar o fato de que a tensão de cisalhamento será igual na interface entre os dois fluidos, então, teremos:

y = h → μ i d u i d y = μ s d u s d y

Passo 3

Agora vamos aplicar as equações de contorno, começando pela primeira, temos:

y = 0 → u i = 0

u i = - ρ g y 2 s e n θ 2 μ + c 1 y + c 2 → 0 = - ρ g 0 2 s e n θ 2 μ + c 1 0 + c 2

c 2 = 0

Agora, da terceira condição, temos:

y = 2 h → τ s = μ s d u s d y = 0

d u s d y = - ρ g y s e n θ μ s + c 3 → 0 = - ρ g ( 2 h ) s e n θ μ s + c 3 → c 3 = 2 ρ g h s e n θ μ s

Agora, da segunda condição, temos:

y = h → u i = u s

u i = - ρ g y 2 s e n θ 2 μ i + c 1 y + c 2 → u i = - ρ g h 2 s e n θ 2 μ i + c 1 h

u s = - ρ g y 2 s e n θ 2 μ s + c 3 y + c 4 → u s = - ρ g h 2 s e n θ 2 μ s + 2 ρ g h s e n θ μ s h + c 4

Igualando as duas expressões, temos:

- ρ g h 2 s e n θ 2 μ i + c 1 h = - ρ g h 2 s e n θ 2 μ s + 2 ρ g h s e n θ μ s h + c 4

- ρ g h 2 s e n θ 2 μ i + c 1 h = 3 ρ g h 2 s e n θ 2 μ s + c 4

Agora, da quarta condição, temos:

y = h → μ i d u i d y = μ s d u s d y

μ i d u i d y = - ρ g h s e n θ + c 1 μ i

μ s d u s d y = - ρ g h s e n θ + 2 ρ g h s e n θ μ s μ s

μ s d u s d y = ρ g h s e n θ

Igualando as duas expressões, temos:

- ρ g h s e n θ + c 1 μ i = ρ g h s e n θ → c 1 = 2 ρ g h s e n θ μ i

Então, retornando na expressão para c 4 , teremos:

- ρ g h 2 s e n θ 2 μ i + c 1 h = 3 ρ g h 2 s e n θ 2 μ s + c 4

Substituindo a expressão para c 1 , temos:

- ρ g h 2 s e n θ 2 μ i + 2 ρ g h s e n θ μ i h = 3 ρ g h 2 s e n θ 2 μ s + c 4

c 4 = - 3 ρ g h 2 s e n θ 2 μ s + 3 ρ g h 2 s e n θ 2 μ i → c 4 = 3 g h 2 s e n θ 2 1 ν i - 1 ν s

Passo 4

Então, as equações de velocidade serão:

u i = ρ g y 2 s e n θ 2 μ i + c 1 y + c 2

u i = - ρ g y 2 s e n θ 2 μ i + 2 ρ g h s e n θ μ i y → u i = ρ g s e n θ 2 ν i 4 h y - y 2

E, para a velocidade do fluido superior, temos:

u s = - ρ g y 2 s e n θ 2 μ s + c 3 y + c 4

u s = - ρ g y 2 s e n θ 2 μ s + 2 ρ g h s e n θ μ s y + 3 g h 2 s e n θ 2 1 ν i - 1 ν s

u s = g s e n θ 2 ν s 4 h y - y 2 + 3 h 2 ν s 2 1 ν i - 1 ν s

A velocidade na interface pode ser encontrada fazendo y = h para o fluido inferior, então, temos:

u i ( h ) = g s e n θ 2 ν i 4 h y - y 2 = g s e n θ 2 ν i 4 h 2 - h 2

u i ( h ) = 3 g h 2 s e n θ 2 ν i

Substituindo os valores conhecidos, temos:

u i ( h ) = 3 9,81 0,01 2 s e n 60 ° 2 0,01 → u i ( h ) = 0,127   m / s

E, para a velocidade na superfície, podemos fazer y = 2 h para o perfil de velocidade do fluido superior, então, temos:

u s = g s e n θ 2 ν s 4 h y - y 2 + 3 h 2 ν s 2 1 ν i - 1 ν s

u s ( 2 h ) = g s e n θ 2 ν s 8 h 2 - 4 h 2 + 3 h 2 ν s 2 1 ν i - 1 ν s

u s ( 2 h ) = g h 2 s e n θ 2 ν s 4 + 3 ν s 2 1 ν i - 1 ν s

Substituindo os valores conhecidos, temos:

u s 2 h = 9,81 0,01 2 s e n 60 ° 2 0,01 5 4 + 3 0,01 5 2 1 0,01 - 1 0,01 5

u s 2 h = 0,595   m / s

Resposta

u i ( h ) = 0,127   m / s

u s 2 h = 0,595   m / s

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