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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 29

Quando um fluido em um tubo é acelerado linearmente a partir do repouso, ele começa a escoar como um escoamento laminar e em seguida sofre uma transição para a turbulência em um instante t t r que depende do diâmetro D do tubo, da aceleração “a” do fluido, da massa específica ρ e viscosidade μ . Arranje isso em uma relação adimensional entre t t r e D .

Passo 1

E aí, galerinha! Tudoooo bem??? Vamos para mais um “lerigou” da mecflu?

Vamos escrever matematicamente como as coisas são função de outras?

t t r = f ( ρ ,   D ,   a ,   μ )

Quais são as unidades bases desses parâmetros?

t t r = { T }

ρ = M L - 3

D = L

a = L T - 2

μ = { M L - 1 T - 1 }

Como temos 5 variáveis (n), e temos 3 dimensões bases (MLT), tem-se que o número de grupos pi iguais a 5 – 3 = 2 grupos!

Passo 2

Bem, podemos então escrever esses grupos pi de várias formas e arranjos, eu vou escolher os parâmetros repetitivos como sendo: ρ ,   a   e   μ

Π 1 = ρ a a b μ c t t r

Π 2 = ρ a a b μ c D

Passo 3

Vamos agora fazer as análises dimensionais e assim montar as equações algébricas!!!

Π 1 = ρ a a b μ c t t r

M L - 3 a L T - 2 b M L - 1 T - 1 c { T } = { M 0 L 0 T 0 }

M : a + c = 0 → c = - a

L : - 3 a + b - c = 0 → b = c + 3 a → b = - a + 3 a = 2 a

T : - 2 b - c + 1 = 0

Substituindo b e c na terceira equação, temos: T = - 2 b - c + 1 = 0

T : - 2 2 a - - a + 1 = 0

- 4 a + a + 1 = 0

- 3 a = - 1

a = 1 / 3

c = - 1 3

b = 2 3

Π 1 = ρ 1 3 a 2 3 μ 1 3 t t r → Π 1 = t t r ρ a 2 μ 1 3

Vamos para os próximos grupos!!!!

Grupo 2:

Π 2 = ρ a a b μ c D

M L - 3 a L T - 2 b M L - 1 T - 1 c { L } = { M 0 L 0 T 0 }

M : a + c = 0 → c = - a

L : - 3 a + b - c + 1 = 0 → b = 3 a + c - 1 → b = 2 a - 1

T : - 2 b - c = 0

Substituindo “a” e “b” em T:

- 2 2 a - 1 - - a = 0

2 - 4 a + a = 0

a = 2 3

b = 1 3

c = - 2 3

Π 2 = D ρ 2 a μ 2 1 3

Passo 4

Podemos escrever então que:

t t r ρ a 2 μ 1 3 = f D ρ 2 a μ 2 1 3

Resposta

t t r ρ a 2 μ 1 3 = f D ρ 2 a μ 2 1 3

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