Quando um micro-organismo se move em um fluido viscoso, a massa específica do fluido exerce uma influência praticamente desprezível sobre a força de arrasto sentida pelo micro-organismo. Esses escoamentos são muito lentos e viscosos (creeping flows). Os únicos parâmetros importantes no problema são a velocidade do movimento , a viscosidade do fluido e a escala de comprimento do corpo. Admita aqui que o diâmetro do corpo do micro-organismo é o comprimento de escala apropriado. (a) Usando o Teorema Pi de Buckingham, gere uma expressão para a força de arrasto em função dos demais parâmetros do problema. (b) O coeficiente de arrasto discutido neste capítulo, , não é adequado para esse tipo de escoamento. Em vez dele, defina um coeficiente de arrasto mais apropriado e chame-o de (para escoamento muito viscoso). (c) Para um micro-organismo de forma esférica, a força de arrasto pode ser calculada exatamente com as equações do movimento para escoamento muito viscoso. O resultado é . Escreva expressões para ambas as formas de coeficiente de arrasto, e , para uma esfera sob condições de escoamento muito viscoso.

Para a letra “a” vamos utilizar o Teorema Pi de Buckingham para encontrar uma expressão parar a força de arrasto em função da velocidade do movimento, da viscosidade do fluido e do diâmetro do corpo. Ou seja:

As dimensões dos parâmetros neste caso são:

Logo, nós temos quatro parâmetros (n=4) e três dimensões () (j=3), ou seja, teremos () apenas um pi grupo, que vai ser:

Resolvendo o sistema linear temos:

Logo:

E claramente a constante que é igual a seria o coeficiente de arrasto mais apropriado para este caso, sendo assim: