Quando um micro-organismo se move em um fluido viscoso, a massa específica do fluido exerce uma influência praticamente desprezível sobre a força de arrasto sentida pelo micro-organismo. Esses escoamentos são muito lentos e viscosos (creeping flows). Os únicos parâmetros importantes no problema são a velocidade do movimento U , a viscosidade do fluido μ e a escala de comprimento do corpo. Admita aqui que o diâmetro d do corpo do micro-organismo é o comprimento de escala apropriado. (a) Usando o Teorema Pi de Buckingham, gere uma expressão para a força de arrasto F A em função dos demais parâmetros do problema. (b) O coeficiente de arrasto discutido neste capítulo, C A = F A / ( 1 2 ρ U 2 A ) , não é adequado para esse tipo de escoamento. Em vez dele, defina um coeficiente de arrasto mais apropriado e chame-o de C m v (para escoamento muito viscoso). (c) Para um micro-organismo de forma esférica, a força de arrasto pode ser calculada exatamente com as equações do movimento para escoamento muito viscoso. O resultado é F A = 3 π μ U d . Escreva expressões para ambas as formas de coeficiente de arrasto, C m v e C A , para uma esfera sob condições de escoamento muito viscoso.

Letra a) F A = c o n s t a n t e * U μ d ;Letra b) C m v = F A U μ d ;Letra c) C m v = 3 π e C D = 24 R e .

Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 50

Quando um micro-organismo se move em um fluido viscoso, a massa específica do fluido exerce uma influência praticamente desprezível sobre a força de arrasto sentida pelo micro-organismo. Esses escoamentos são muito lentos e viscosos (creeping flows). Os únicos parâmetros importantes no problema são a velocidade do movimento , a viscosidade do fluido e a escala de comprimento do corpo. Admita aqui que o diâmetro do corpo do micro-organismo é o comprimento de escala apropriado. (a) Usando o Teorema Pi de Buckingham, gere uma expressão para a força de arrasto em função dos demais parâmetros do problema. (b) O coeficiente de arrasto discutido neste capítulo, , não é adequado para esse tipo de escoamento. Em vez dele, defina um coeficiente de arrasto mais apropriado e chame-o de (para escoamento muito viscoso). (c) Para um micro-organismo de forma esférica, a força de arrasto pode ser calculada exatamente com as equações do movimento para escoamento muito viscoso. O resultado é . Escreva expressões para ambas as formas de coeficiente de arrasto, e , para uma esfera sob condições de escoamento muito viscoso.

Passo 1

Para a letra “a” vamos utilizar o Teorema Pi de Buckingham para encontrar uma expressão parar a força de arrasto em função da velocidade do movimento, da viscosidade do fluido e do diâmetro do corpo. Ou seja:

As dimensões dos parâmetros neste caso são:

Logo, nós temos quatro parâmetros (n=4) e três dimensões () (j=3), ou seja, teremos () apenas um pi grupo, que vai ser:

Resolvendo o sistema linear temos:

Logo:

E claramente a constante que é igual a seria o coeficiente de arrasto mais apropriado para este caso, sendo assim:

Passo 2

Para a letra “c” basta sabermos que:

Logo:

Para encontrar vamos usar a relação:

Como , logo:

Resposta

Letra a) ;

Letra b) ;

Letra c) e .

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