For the boundary layer flow in Fig. 3.10, let the exit velocity

profile, at x 5 L, simulate turbulent flow, u

(a) Find a relation between h and δ. (b) Find an expression

for the drag force F on the plate between 0 and L.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

(a) Para as mesmas correntes, a vazão mássica na entrada x = 0 e na saída são iguais x = L ,

∫   d m ˙ ent   = ∫   d m ˙ sai  

Aqui, é a b largura da placa, é a U 0 velocidade do vapor livre na direção x , é a ρ densidade do fluido e, é a δ altura máxima considerada. Para encontrar a altura substitua a taxa de fluxo mássico de ∫ 0 k   ρ U 0 b d y para m ˙ e n t ∫ 0 δ   ρ U 0 y δ 1 / 7 b d y para m ˙ sai   na equação,

∫   d m ˙ ent     = ∫   d m ˙ sai   ∫ 0 k     ρ U 0 b d y   = ∫ 0 s     ρ U 0 y δ 1 / 7 b d y ρ U 0 b h   = ρ U 0 b ∫ 0 δ     y δ 1 / 7 d y   = 7 8 ρ U 0 b δ 1 / 7 y 8 / 7 y = 0 y = 5   = 7 8 ρ U 0 b δ δ 1 / 7 ρ U 0 b h   = 7 8 ρ U 0 b δ h   = 7 8 δ

Assim, a relação entre h e δ é encontrada para ser h = 7 8 δ .

Passo 2

(b) Encontre a força que atua usando a forma integral do volume de controle,

- F = ∫   u sai   d m ˙ sai   - ∫   u ent   d m ˙ ent   F = ∫   u ent   d m ˙ ent   - ∫   u sai   d m ˙ sai  

Para encontrar a força que atua substitui a taxa de fluxo de massa de ∫ 0 k   ρ U 0 b d y para m ˙ e n t e ∫ 0 δ   ρ U 0 y δ 1 / 7 b d y para m ˙ sai   na equação,

F   = ∫   u ent   d m ˙ ent   - ∫   u sai   d m ˙ sai     = ∫ 0 h     ρ U 0 2 b d y - ∫ 0 δ     ρ U 0 y δ 1 / 7 2 b d y   = ρ U 0 2 b h - ρ U 0 2 b ∫ 0 δ     y δ 2 / 7 d y   = ρ U 0 2 b h - 7 9 ρ U 0 2 b δ 2 / 7 y 9 / 7 y = 0 y = δ = ρ U 0 2 b h - 7 9 ρ U 0 2 b δ 2 / 7 δ 9 / 7 = ρ U 0 2 b h - 7 9 ρ U 0 2 b δ = ρ U 0 2 b h - 7 9 δ ⋯ ( 1 )

Passo 3

Substitua h = 7 8 δ na equação (1)

F   = ρ U 0 2 b h - 7 9 δ   = ρ U 0 2 b δ 7 8 - 7 9   = 7 72 ρ U 0 2 b δ

Portanto, a expressão para força de arrasto na placa é

F = 7 72 ρ U 0 2 b δ

Resposta

a) h = 7 8 δ

b) F = 7 72 ρ U 0 2 b δ

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