A fórmula Stokes-Oseen [33] para a força de arrasto F sobre uma esfera de diâmetro D em uma corrente de fluido de baixa velocidade V , massa específica ρ e viscosidade μ é

F = 3 π μ D V + 9 π 16 ρ V 2 D 2

Essa fórmula é dimensionalmente homogênea.

Passo 1

Para ser dimensionalmente homogênea, o lado direito da equação tem q ser igual ao lado esquerdo em termos de dimensão. Como o lado esquerdo é a força de arrasto F , então esse lado está em Newtons N .

Precisamos que o lado direito também seja.

Passo 2

Bom, como soma de termos não altera a dimensão do lado direito, precisamos que cada um dos termos da soma já esteja em newtons. Vamos pegar o primeiro termo da soma e verificar as unidades de grandeza:

3 π μ D V

3 π é adimensional então podemos tirar, sobrando só:

μ D V

D corresponde ao diâmetro então está em unidades de comprimento, μ é a viscosidade então suas unidades são N ⋅ s / m 2 enquanto V está em unidades de velocidade:

D = L

V = L / T

μ = F ⋅ T / L 2

O produto de tudo fica:

D V μ = L L / T F ⋅ T / L 2

Se cortarmos os L e os T sobra:

D V μ = F

Então a primeira parte da equação está dimensionalmente homogenea.

Passo 3

Agora a gente pega a segunda parte:

9 π 16 ρ V 2 D 2

Como as constantes são adimensionais, sobra:

ρ V 2 D 2

Como ρ tem unidades no SI de k g / m 3 então:

ρ = M / L 3

A dimensão do produto então vai ser:

ρ D 2 V 2 = M / L 3 L 2 L 2 / T 2

Simplificando os L sobra:

ρ D V = M L / T 2 = M ⋅ L / T 2 = F

A ultima parte ficou M ⋅ L / T 2 que pode ser escrito nas unidades como k g ⋅ m / s 2 que é o mesmo que N .

E já que a soma dos dois termos homogêneos do lado direito permanece homogênea, então a equação toda é homogênea.

Resposta

H o m o g ê n e a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados