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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 19

In his study of the circular hydraulic jump formed by a

faucet flowing into a sink, Watson [53] proposed a parameter combining volume flow rate Q, density ρ, and viscosity µ of the fl uid, and depth h of the water in the sink. He

claims that his grouping is dimensionless, with Q in the

numerator. Can you verify this?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Escrevendo em forma dimensional para a taxa de fluxo de volume

{ Q } = L 3 T

Escrevendo em forma dimensional para a densidade do fluido

{ ρ } = M L 3

Escrevendo em forma dimensional para viscosidade do fluido

{ μ } = M L T

Escrevendo em forma dimensional para a profundidade da água

{ h } = L

Passo 2

A taxa de fluxo de volume deve ser um numerador, então

K ≈ { Q }

Aqui, K é uma constante arbitrária

Agrupando as quantidades das variáveis:

K = Q ρ a μ b h c

Agora expressando na forma dimensional

{ M L T } 0 = L 3 T M L 3 a M L T { L } c

→ M 0 L 0 T 0 = M a + b L 3 - 3 a - b + c T - 1 - b

Passo 3

Comparando os índices dos coeficientes correspondentes

Para T

0 = - 1 - b

→ b = - 1

Para M

0 = a + b

→ a = - b = - - 1 = 1

Para L

0 = 3 - 3 a - b + c

→ c = 3 a + b - 3

→ c = 3 1 + - 1 - 3

→ c = - 1

Passo 4

Substituindo os valores de a , b e c na equação no Passo 1

K = Q ρ a μ b h c

→ K = Q ρ μ - 1 h - 1

→ K = Q ρ μ h

A expressão acima é para a constante, logo deve ser adimensional

Checando essa dimensão para a constante K

Q ρ μ h = L 3 / T M / L 3 M / L T L = { 1 }

Então, agrupando essas variáveis nos dá um número adimensional.

Resposta

Resposta nos passos.

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