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Enunciado

Termodinâmica - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 55

Ar, fornecido por um reservatório a 450 kPa, escoa através de um bocal convergente-divergente cuja área da garganta é de 12 cm2. Um choque normal se forma onde A1 = 20 cm2. (a) Calcule a pressão exatamente a jusante desse choque. Ainda mais a jusante, em A3 =

30 cm2, calcule (b) p3, (c) A3* e (d) Ma3.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Vamos começar relembrando os dados da questão do Problema P9.46.

Nessa questão, temos ar sendo fornecido a uma pressão de estagnação p 0 = 450   k P a e escoando em um bocal convergente-divergente cuja área da garganta é A 1 * = 12   c m ² . Então, um choque normal se forma onde a área do bocal é A 1 = 20   c m ² .

O enunciado nos pede então que a gente calcule a pressão p 2 a jusante do choque. Além disso, ainda mais a jusante, onde A 3 = 30   c m ² , o enunciado nos pede pr calcular p 3 , A 3 * e M a 3 .

Nos próximos passos eu vou te ensinar a calcular tudo isso, mas antes de ir pros próximos passos, devemos lembrar que para o ar o coeficiente isentrópico é k = 1,4 e a constante do gás pro ar é R = 287   J / k g ∙ K

Agora sim, vem comigo pra gente matar esse problema juntos!

Passo 2

Pra começar a resolver a questão, vamos calcular o número de Mach a montante, M a 1 .

Pra isso, vamos lembrar que pela Equação 9.45, dada na página 628, podemos relacionar o número de Mach com a relação de áreas A 1 / A 1 * :

M a 1 = 1 + 1,2 A 1 A 1 * - 1 1 / 2

M a 1 = 1 + 1,2 20   c m ² 12   c m ² - 1 1 / 2

M a 1 = 1,98

Passo 3

Agora, vamos resolver a letra (a) e calcular a pressão p 2 a jusante do choque.

Em primeiro lugar, devemos calcular a pressão p 1 a jusante a partir da pressão de estagnação p 0 utilizando a Equação 9.34 dada na página 624:

p 1 = p 0 1 + 0,2 M a 1 2 3,5 = 450   k P a   1 + 0,2 1,98 ² 3,5 = 59,3   k P a

Depois, a gente vai usar M a 1 que a gente acabou de calcular no Passo 2, utilizando a Equação 9.55, dada na página 635, pra relacionar esse número de Mach com a razão p 2 / p 1 :

p 2 p 1 = 1 k + 1 2 k M a 1 2 - ( k - 1 )

p 2 59,3   k P a = 1 1,4 + 1 2 1,4 1,98 ² - ( 1,4 - 1 )

p 2 = 261,3   k P a

Passo 4

Pra resolver a letra (c), vamos na Tabela B.2, na página 832, e entrar com M a 1 = 1,98 e encontrar A 2 * / A 1 * ≈ 1,3872 .

Podemos então calcular A 2 * diretamente substituindo o valor de A 1 * dado no enunciado:

A 2 * A 1 * = 1,3872

A 2 * 12   c m ² .   = 1,3872

A 2 * = 16,65   c m ²

Achamos A 2 * , mas agora como achamos A 3 * , como a letra (c) pede?

Simples: como a gente sabe, pelas suposições do choque normal, que o escoamento entre os pontos 2 e 3 a jusante do choque é isentrópico, nós iremos ter:

A 3 * = A 2 * = 16,65   c m ²

Além disso, pelo mesmo motivo, p 02 ≈   p 03 .

Passo 5

Agora, vamos usar A 3 * pra calcular M a 3 e resolver a letra (d).

Pra isso, vamos usar novamente a Equação 9.45 e a relação entre A 3 / A 3 * :

A 3 A 3 * = 1 M a 3 1 + 0,2 M a 3 2 3 1,728

30   c m ² 16,65   c m ² = 1 M a 3 1 + 0,2 M a 3 2 3 1,728

M a 3 = 0,34  

Passo 6

Pra finalizar a questão, vamo usar M a 3 pra calcular p 3 e resolver a letra (b).

Pra isso, vamos uma Tabela B.2 novamente e entrar com M a 1 = 1,98 e encontrar p 02 / p 01 ≈ 0,7209 .

Dessa forma, podemos achar p 03 = p 02 :

p 03 = p 02 = 0,7209 p 01

p 03 = 0,7209 450   k P a = 324,4   k P a

Dessa forma, podemos usar a Equação 9.34 novamente pra calcular p 3 :

p 3 = p 0 3 1 + 0,2 M a 3 2 3,5 = 324,4   k P a   1 + 0,2 0,34 ² 3,5 = 299,4   k P a

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

(a) p 2 = 261,3   k P a

(b) p 3 = 299,4   k P a

(c) A 3 * = 16,65   c m ²

(d) M a 3 = 0,34  

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