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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 104

A função de corrente de um campo de escoamento é ψ = A x 2 y - B y 2 , em que A = 1 m - 1 . s - 1 , B = 1 3   m - 1 . s - 1 e as coordenadas são medidas em metros. Encontre uma expressão para o potencial de velocidade.

Passo 1

Bom o exercício nos dá a equação que representa a função de corrente, e nos pede a equação do potencial de velocidade… Hummm…

Vamos lá?

Começaremos recordando uma coisa muito importante nesse assunto: As equações que definem o nosso escoamento como incompressível! São elas:

u = ∂ ψ ∂ y v = - ∂ ψ ∂ x

u = - ∂ φ ∂ x v = - ∂ φ ∂ y

Beleza?

Passo 2

Agora vamos tirar de letra! Como já temos a equação da função de corrente, podemos encontrar as componentes da velocidade!

u = ∂ ψ ∂ y v = - ∂ ψ ∂ x

u = ∂ ∂ y ( A x 2 y - B y 3 ) v = - ∂ ∂ x ( A x 2 y - B y 3 )

Derivando as equações acima:

u ( x , y ) = A x 2 - 3 B y 2 v ( x , y ) = - 2 A x y

Passo 3

Agora precisamos testar mais uma hipótese! Nosso escoamento é irrotacional? Bom, o enunciado não nos afirmou isso, então vamos ao teste!

Sabemos que para ser um escoamento irrotacional deve ser respeitado a seguinte regra:

∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y = 0

Vamos ao teste!

∂ ( - 2 A x y ) ∂ x - ∂ ( A x 2 - 3 B y 2 ) ∂ y = 0

- 2 A y + 6 B y = 0

E constatamos que é verdade!! Pois, com os valores de A e B dados na questão (A = 1 m - 1 . s - 1 e B = 1 3   m - 1 . s - 1 ) para qualquer valor de Y o resultado será zero!

Passo 4

Estamos no último passo!

Agora só precisamos resolver aquelas equações lá de cima:

u = - ∂ φ ∂ x v = - ∂ φ ∂ y

Como queremos o φ , vamos integrar a equação que representa o u e o v :

φ ( x , y ) = - ∫ u ( x , y ) d x φ ( x , y ) = - ∫ v ( x , y ) d y

φ ( x , y ) = - ∫ ( A x 2 - 3 B y 2 ) d x φ ( x , y ) = - ∫ ( - 2 A x y ) d y

φ ( x , y ) = - A x 3 3 + 3 B y 2 x + f ( y ) φ ( x , y ) = A x y 2 + f ( x )

Vamos só lembrar que a equação final será a junção da equação φ ( x , y ) = A x y 2 + f ( x ) , com a substituição do f ( x ) pela parte que corresponde a uma função de X na equação φ ( x , y ) = - A x 3 3 + 3 B y 2 x + f ( y ) . Pois o contrário não é possível, beleza?

Uhull! Conseguimos!

Resposta

φ ( x , y ) = A x y 2 - A x 3 3

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