Enunciado

Para gases submetidos a grandes mudanças de altitude, a aproximação linear, Equação (2.14), é imprecisa. Expanda a lei de potência da troposfera, Equação (2.20), em uma série de potências e mostre que a aproximação linear p ≈ p a - p a g z é adequada quando

δ z ≪ 2 T 0 n - 1 B   e m   q u e   n = g R B

Passo 1

Vamo lá resolver esse trem!

Temos a equação (2.20):

p = p a 1 - B z T 0 n

Vamos começar expandindo o termo da Equação (2.20) em série de potências, assim:

1 - B z T 0 n = 1 - n B z T 0 + n n - 1 2 ! B z T 0 2 - …

lembrando que, n = g R B .

Multiplicando por p a , teremos p a n B z T 0 = p a R T 0 g z = ρ a g z , assim, rearranjando o termo expandido e a equação (2.20), temos:

p = p a - ρ a g z ( 1 - n - 1 2 B z T 0 + … . )  

Passo 2

Para termos uma maior precisão, o segundo termo dentro dos parênteses tem de ser muito menor que a unidade, ou seja, muito menor que 1, assim:

n - 1 2 B z T 0 ≪ 1

Se o ponto de partida não for z = 0 , chamaremos z   d e   δ z , assim:

n - 1 2 B δ z T 0 ≪ 1

Rearranjando,

δ z ≪ 2 T 0 n - 1 B

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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