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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 58

Um jato d’água horizontal, com taxa de escoamento V ˙ e área de seção transversal A , movimenta um carrinho coberto de massa m c ao longo de uma trajetória nivelada e quase sem atrito. O jato entra em um orifício na parte traseira do carrinho e toda a água que entra no carrinho é retida, aumentando a massa do sistema. A velocidade relativa entre o jato de velocidade constante V j e o carrinho de velocidade V é V j - V . Se o carrinho inicialmente estiver vazio e em repouso quando a ação do jato se inicia, desenvolva uma relação (a forma integral é aceitável) para a velocidade do carrinho versus o tempo.

Passo 1

Fala aí lindxs, tudo bem por aí? Partiu mais uma questão de Mecânica dos Fluidos. Observamos que a velocidade do jato de água é constante, mas a velocidade do carro é variável.

Note que o fluxo em massa é m ˙ = ρ A   V j - V , onde A é a área da seção transversal do jato de água e V j - V é a velocidade do jato de água em relação ao carrinho. Se tiver dúvida, basta olhar as unidades:

k g m 3   m 2 m s = k g s

Se m ˙ é o fluxo de massa, a massa de água no carrinho a qualquer momento t é:

m á g u a = ∫ 0 t m ˙ d t = ∫ 0 t ρ A   V j - V d t

Logo:

m á g u a = ρ A V j t - ρ A ∫ 0 t V d t

Sabemos que d m á g u a d t = m ˙ .   Tomamos o carrinho como o volume de controle móvel. A força líquida que atua no carrinho neste caso é igual ao fluxo de momento do jato de água. A 2ª lei de Newton F   =   m a =   d m V d t , neste caso, pode ser expressa como:

F = d m t o t a l V d t

Onde:

F = m a = m ˙ V

Se tiver dúvida novamente, só checar as unidades. k g s m s = k g m s 2 .

Logo:

F = m ˙ V = ρ A V j - V V j

Passo 2

Agora, vamos trabalhar com a seguinte expressão:

d m t o t a l V d t = d m c + m á g u a V d t = m c d V d t + d m á g u a V d t

m c d V d t + d m á g u a V d t = m c d V d t + m á g u a   d V d t

m c d V d t + m á g u a   d V d t = m c + m á g u a d V d t + ρ A V j - V V

Como F = d m t o t a l V d t :

F = m c + m á g u a d V d t + ρ A V j - V V

Mas F = ρ A V j - V V j ,   logo, substituindo:

m c + m á g u a d V d t + ρ A V j - V V = ρ A V j - V V j

ρ A V j - V V j - V = m c + m á g u a d V d t

Temos uma equação diferencial. Basta separar as variáveis:

d V ρ A V j - V 2 = d t m c + m á g u a

Substituindo m á g u a = ρ A V j t - ρ A ∫ 0 t V d t :

d V ρ A V j - V 2 = d t m c + ρ A V j t - ρ A ∫ 0 t V d t

Integrando de t = 0 ,   quando V = 0 ,   até t = t ,   onde V = V :

∫ 0 V d V ρ A V j - V 2 = ∫ 0 t d t m c + ρ A V j t - ρ A ∫ 0 t V d t

Resposta

∫ 0 V d V ρ A V j - V 2 = ∫ 0 t d t m c + ρ A V j t - ρ A ∫ 0 t V d t

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