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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 139

A lei de arrasto de Stokes para esferas lisas deve ser verificada experimentalmente, deixando cair esferas de aço de rolamentos em glicerina. Avalie o maior diâmetro de esfera de aço para o qual R e   <   1 para a velocidade terminal. Calcule a altura da coluna de glicerina necessária para que uma esfera atinja 95 % da sua velocidade terminal.

Passo 1

Fala aí galera, bora pra mais um problema de Mecânica dos Fluidos. Primeiramente, sabemos que, por definição:

∑ F y = m a y

∑ F y = m g - F B - F D = m d V d t = m v d V d y

Onde:

V = π D 3 6

m = ρ e s f e r a V

F B = ρ g l i c V   g

F A = 3 π μ V D

Como na velocidade terminal a aceleração é zero, sabemos que:

0 = ρ e s f e r a V   g - ρ g l i c V   g - 3 π μ V D

Isolando a velocidade:

V = ρ e s f e r a - ρ g l i c π D 3 6   g   1 3 π μ D = ρ e s f e r a - ρ g l i c D 2 g 18 μ

V = ρ e s f e r a ρ g l i c - 1 ρ g l i c D 2 g 18 μ = S G e s f e r a S G g l i c - 1 D 2 g 18 v

Substituindo:

V t = 0,288 D 2 g v

Para o escoamento de Stokes, temos que R e < 1 . Logo:

R e = ρ V t D μ = V t D v = 0,288 D 3 g v 2

D 3 ≤ 1 0,288 v 2 g

D ≤ 3,47 v 2 g 1 3

Substituindo:

D ≤ 7,99 m m

Passo 2

O problema também nos pede a altura de glicerina para que a velocidade seja 95% da terminal. Logo:

0 = ρ e s f e r a V   g - ρ g l i c V   g - 3 π μ V D

Manipulando (dividindo por ρ e s f e r a - ρ g l i c ) :

1 - 3 π μ D ρ e s f e r a - ρ g l i c π D 3 6 g V = 1 - V V t = ρ e s f e r a V ( ρ e s f e r a - ρ g l i c ) V   g   V d V d y

Separando as variáveis:

d y = ρ e s f e r a ρ e s f e r a - ρ g l i c V t 2 g     V V t d V V t 1 - V V t = ρ e s f e r a ρ e s f e r a - ρ g l i c V t 2 g r d r 1 - r

Integrando e substituindo os valores (lembrando que V = V t × 0,95 ) :

y = 121 m m

Resposta

D ≤ 7,99 m m

y = 121 m m

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