Um medicamento líquido, com a viscosidade e a massa específica da água, deve ser administrado através de uma agulha hipodérmica. O diâmetro interno da agulha é 0,25 mm e o seu comprimento é de 50 mm. Determine (b) a queda de pressão requerida para fornecer a vazão máxima.

Passo 1

Neste item é solicitada a queda de pressão necessária para fornecer a máxima vazão obtida no item a.

Para isso será necessário o uso da equação de Balanço de Quantidade de Movimento (relação integral) ao longo de um volume de controle, conforme Figura abaixo.

A equação de Balanço de Quantidade de Movimento, aplicada apenas ao longo de x, é definida como:

F x = F s x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ d ∀ + ∫ S C u ρ V → ∙ d A →

E será aplicada ao longo das seções 1 e 2, tendo como hipóteses:

- regime permanente ( ∂ / ∂ t = 0 );

- escoamento incompressível ( ρ 1 = ρ 2 );

- escoamento completamente desenvolvido ( u 1 = u 2 ) ;

- seção transversal constante ( A 1 = A 2 ) ;

- escoamento horizontal (força de campo nula - F B x = 0 ).

Passo 2

A partir das hipóteses, a equação de balanço apresentada no Passo 1 pode ser escrita como:

F s x + 0 = 0 + ∫ S C 1 u ρ V → ∙ d A → + ∫ S C 2 u ρ V → ∙ d A →

F s x = - u 1 ρ 1 u 1 A 1 + u 2 ρ 2 u 2 A 2

Em função das hipóteses do problema, pode-se afirma que o fluxo de quantidade de movimento nas superfícies S C 1 e S C 2 são iguais:

u 1 ρ 1 u 1 A 1 = u 2 ρ 2 u 2 A 2

Logo:

F s x = 0

Passo 3

Sabendo que a equação de Balanço de Quantidade de Movimento se reduziu a:

F s x = 0

E que F s x representam as forças de superfície (força devido à pressão e à tensão de cisalhamento), então ela pode ser escrita como:

F s x = p 1 A 1 - τ w × A l a t e r a l   i n t e r n a - p 2 A 2 = 0

Nota: sinal positivo no sentido do eixo x.

p 1 π D 2 4 - τ w × ( π D L ) - p 2 π D 2 4 = 0

τ w × π D L = p 1 π D 2 4 - p 2 π D 2 4

τ w × π D L = π D 2 4 ( p 1 - p 2 )

Sabendo que a queda de pressão ( ∆ p = p 1 - p 2 ), então:

τ w × π D L = π D 2 4 ∆ p

Ede forma que a queda de pressão pode ser expressa como:

∆ p = 4 L D τ w

Resposta

∆ p = 4 L D τ w

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