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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 111

Um motor DC fornece energia mecânica para rotação de eixo de aço inoxidável k = 15,1 W m   ·   K com um comprimento de 25 cm e um diâmetro de 25 mm. Nos arredores, a temperatura do ar ambiente de 20°C, e coeficiente de transferência de calor por convecção de 25 W m 2   ·   K . A área de superfície da carcaça do motor exposta ao ar ambiente é de 0,075   m 2 . O motor utiliza 300 W de energia elétrica e fornece 55% dela como energia mecânica para girar o eixo de aço inoxidável. Considerando que a ponta do eixo de aço inoxidável tem uma temperatura de 22°C, determine a temperatura da superfície da carcaça do motor. Suponha que a temperatura base do eixo seja igual à temperatura da superfície da carcaça do motor.

Passo 1

Bora começar mais umaa??

Clarooo!!

O problema nos disse que o motor transmite apenas 55% como energia mecânica para girar o eixo, ou seja, sobra apenas 45% para ser convertido em energia térmica que será perdida através da superfície do motor e do eixo, certo?

Então, o calor gerado será apenas 45% da potência disponível.

Vamos escrever em forma de fórmula:

Q g e r a d o ˙ = ( 1 - ɳ ) P

Q g e r a d o ˙ = 1 - 0,55 × 300   W = 135   W

Se o calor gerado é transmitido para a superfície do motor e para o eixo:

Q g e r a d o ˙ = Q s u p e r f í c i e ˙ + Q e i x o ˙

Precisamos achar a temperatura da base, então vamos usar esta relação para acha-la!!

Passo 2

A quantidade de calor transferido para a superfície do motor, com a temperatura da base constante, pode ser dada por:

Q s u p e r f í c i e ˙ = h A s ( T b - T ∞ )

Já sabemos que:

h = 25 W m 2   ·   K

A s = 0,075   m 2

T ∞ = 20 ° C

Agora é só substituir:

Q s u p e r f í c i e ˙ = 25 W m 2   ·   K 0,075   m 2 ( T b - 20 ° C )

Q s u p e r f í c i e ˙ = 1,875 W K ( T b - 20 ° C )

Beleza!! Vamos guardar esta informação e calcular o calor do eixo.

Passo 3

O eixo está funcionando como uma aleta que apresenta temperatura específica, certo?

Nestes casos usamos a fórmula:

Q e i x o ˙ = h p k A c T b - T ∞ × cosh ⁡ ( m L ) - T L - T ∞ T b - T ∞ sinh ⁡ ( m L )

Vamos calcular cada termo separadamente para ficar menos confuso, ok?

Começando por:

h p k A c

Vamos lembrar que, para uma aleta de seção circular:

A c = π D 2 4

p = π D

Então:

h p k A c = h k π 2 D 3 4 = 25 W m 2   ·   K 15,1 W m   ·   K π 2 ( 0,025   m ) 3 4

h p k A c = 0,12064 W K

O próximo termo desconhecido é m L .

Lembrando que:

m = h p k A c =   h π D k π D 2 4 = 4 h k D

Então:

m L = 0,25   m 4 25 W m 2   ·   K 15,1 W m   ·   K ( 0,025   m ) = 4,0689

Se a temperatura fixa da aleta é T L e vale 22°C:

Q e i x o ˙ = 0,12064 W K T b - 20 ° C × cosh ⁡ ( 4,0689 ) - 22 ° C - 20 ° C T b - 20 ° C sinh ⁡ ( 4,0689 )

Reorganizando:

Q e i x o ˙ = 0,1 1748 W K T b - 20 ° C - 0,008252   W

Passo 4

É isso galerinha, achamos tudo e agora vamos colocar na igualdade que eu mencionei no passo 1:

135   W = 1,875 W K T b - 20 ° C + 0,11748 W K T b - 20 ° C - 0,008252   W

135,008252     W = 1,99 248 W K T b - 20 ° C

T b - 20 = 67 , 76  

T b = 8 7 , 76 ° C

Então, a temperatura da base do motor será 87,76 ° C .

Tranquilinha?

Resposta

87 , 7 6 ° C

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