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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 122

Obtenha a Equação 12-10 começando pela Equação 19-9 e usando a regra cíclica e as relações entre as propriedades termodinâmicas.

c P T = ∂ s ∂ T P   e   c v T = ∂ s ∂ T v

Passo 1

Fala ai! Pra resolver essa questão primeiro vamos olhar que equações são essas que ele falou no enunciado.

A equação 12-10 é:

c ² = k ∂ P ∂ ρ T

E a equação 12-9 é:

c ² = ∂ P ∂ ρ s

Que relacionam a velocidade do som com as propriedades do fluido e do sistema.

Além disso, o problema deu duas relações entre propriedades termodinâmicas.

Sabendo que ρ = 1 / ν , e que d ρ = - d ν / ν ² . Ficamos com:

c 2 = - ν 2 ∂ P ∂ ν s = - ν 2 ∂ P ∂ T ∂ T ∂ ν s = - ν 2 ∂ P ∂ T s ∂ T ∂ ν s

Passo 2

A regra cíclica diz isso aqui:

P , T , s : ∂ P ∂ T s ∂ T ∂ s P ∂ s ∂ P T = - 1

T , ν , s : ∂ T ∂ v s ∂ v ∂ s T ∂ s ∂ T v = - 1

Então o que a gente vai poder tirar dela é que:

∂ P ∂ T s = - ∂ P ∂ s T ∂ s ∂ T P

∂ T ∂ v s = - ∂ s ∂ v T ∂ T ∂ s v

Passo 3

Substituindo o que a gente encontrou com a regra cíclica na expressão da velocidade do som que encontramos no passo 1 temos:

c 2 = - ν 2 ∂ P ∂ T s ∂ T ∂ ν s

c 2 = - ν 2 ∂ P ∂ s T ∂ s ∂ T P ∂ s ∂ v T ∂ T ∂ s v

Agora usando as relações que o enunciado deu pra gente e também simplificando:

c P T = ∂ s ∂ T P   e   c v T = ∂ s ∂ T v

c 2 = - ν 2 ∂ P ∂ v T c P T T c v

Como k = c p c v :

c 2 = - ν 2 k ∂ P ∂ v T

Passo 4

Por fim (finalmente), vamos voltar a substituição que a gente fez no começo d ρ = - d ν / ν ² , temo que:

c ² = k ∂ P ∂ ρ T

Que é a expressão que a gente queria!

Resposta

c 2 = k ∂ P ∂ ρ T , como queríamos demonstrar

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