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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 27

Uma panela é usada para ferver água. Ela é colocada sobre um fogão, a partir do qual calor é transferido a uma taxa fixa   q o . Há dois estágios no processo. No Estágio 1, a água é levada de sua temperatura inicial (ambiente) T i   até o ponto de ebulição, quando calor é transferido da panela para a água por convecção natural. Durante esse estágio pode-se admitir um valor constante do coeficiente de transferência de calor h , enquanto a temperatura média da água aumenta com o tempo, T ∞   =   T ∞ ( t ) .   No Estágio 2, a água encontra-se em ebulição e sua temperatura mantém-se em um valor fixo, T ∞   =   T e b   , enquanto o fornecimento de calor continua. Considere uma base de panela com espessura L   e diâmetro   D , com um sistema de coordenadas no qual x   =   0   e x   =   L   nas superfícies em contato com o fogão e com a água, respectivamente.

  1. Escreva a forma da equação do calor e as condições inicial e de contorno que determinam a variação da temperatura com a posição e o tempo, T ( x ,   t ) ,   na base da panela ao longo do Estágio 1. Expresse seu resultado em termos dos parâmetros   q o , D , L , h   e T ∞ ,   assim como das propriedades pertinentes do material da panela.

  2. Durante o Estágio 2, a superfície da panela em contato com a água encontra-se a uma temperatura fixa, T ( L ,   T )   =   T L   >   T e b . Escreva a forma da equação do calor e as condições de contorno que determinam a distribuição de temperaturas, T ( x ) ,   na base da panela. Expresse seu resultado em termos dos parâmetros q o ,   D ,   L   e T L , assim como das propriedades pertinentes do material da panela.

Passo 1

Bora para mais uma questão! Aqui nós temos uma panela com diâmetro   D , espessura L   e temperatura inicial T i , temos também a taxa de calor do fogão para o fundo da panela. Além disso o enunciado disse que podemos admitir um valor constante do coeficiente de transferência de calor h , enquanto a temperatura média da água aumenta com o tempo T ∞   t ,   durante o estágio 1. E que a temperatura da superfície da panela em contato com a água durante o estágio 2 é T L . Esquematicamente, temos:

A partir disso, temos que encontrar a forma da equação do calor e as condições de contorno associadas aos dois estágios, certo? Então vamos as nossas considerações.

Passo 2

Para resolver essa questão, vamos assumir que:

  1. A condução é unidimensional no fundo da panela;
  2. A transferência de calor do fogão é uniformemente distribuída sobre a superfície da panela em contato com o fogão;
  3. As propriedades são constantes.

Na letra (a) queremos a equação do calor no Estágio 1, que pode ser escrita da seguinte forma:

∂ 2 T ∂ x 2 = 1 α ∂ T ∂ t

Onde as condições de contorno são:

- k ∂ T ∂ x x = 0 = q o ' ' = q o π D 2 4  

- k ∂ T ∂ x x = L = h   [ T L , t - T ∞ t ]

E a condição inicial é:

T x , 0 = T i

Passo 3

E na letra (b), para o caso do Estágio 2, a equação de calor pode ser escrita da seguinte maneira:

∂ 2 T ∂ x 2 = 0

Onde as condições de contorno são:

- k ∂ T ∂ x x = 0 = q o ' '

T L = T L

Resposta

  1. Equação de calor: ∂ 2 T ∂ x 2 = 1 α ∂ T ∂ t

    2. Condições de contorno são:

    - k ∂ T ∂ x x = 0 = q o ' ' = q o π D 2 4  

    - k ∂ T ∂ x x = L = h   [ T L , t - T ∞ t ]

    T x , 0 = T i

  2. Equação de calor: ∂ 2 T ∂ x 2 = 0

Condições de contorno são:

- k ∂ T ∂ x x = 0 = q o ' '

T L = T L

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