22 – A partir do balanço de energia um elemento de volume de casca esférica, derive a equação de condução de calor unidimensional transiente para uma esfera com condutividade térmica constante e sem geração de calor.

Considere o elemento de casca esférica fina de espessura  na esfera.

Escreva o balanço de energia para este elemento. Como a condutividade térmica é constante, existe um fluxo de calor somente na direção radial. Além disso, a geração interna de calor é zero.

De acordo com a conservação de energia, o calor conduzido para um elemento será igual ao calor realizado, mais a mudança na energia interna do elemento.

Aqui, é a transferência de calor, é a energia interna.

Considere a seguinte expressão:

Aqui, é a densidade, é o calor específico do material, é o volume.

Vamos agora, substituir os valores conhecidos no balanço energético,

Dividindo os dois lados por temos:

Pegue os limites como e

Escreva a expressão para a transferência de calor na esfera na direção radial.

Aqui, a condutividade térmica é .

Substitua na equação (2).

Substituindo

Aqui a propriedade é a difusividade térmica do material.

Portanto, a equação para uma esfera com condutividade térmica constante e sem geração de calor é