30 – A partir do balanço de energia do elemento de volume em forma de anel, derive a equação de condução de calor bidimensional permanente em coordenadas cilíndricas para T ( r , z ) , com condutividade térmica constante e sem geração de calor.

Passo 1

Desenhe o diagrama esquemático do elemento de volume em forma de anel.

Passo 2

Considere um elemento de volume fino em forma de anel, de largura z e espessura r em um cilindro. Escreva a equação do balanço de energia no elemento anelar por um pequeno intervalo  ∆ t no estado estacionário e sem geração de calor com o sistema bidimensional.

Q ˙ r + Q ˙ z - Q ˙ r + ∆ r - Q ˙ z + ∆ z = ∆ E e l e m e n t o ∆ t … … … .   ( 1 )

Onde:

Q ˙ r é a energia térmica em r

Q ˙ z é a energia térmica em z

Q ˙ r + ∆ r é a energia térmica em r + ∆ r

Q ˙ z + ∆ z é a energia térmica em   z + ∆ z

∆ E e l e m e n t o é a energia térmica total adquirida pelo elemento

A mudança de energia no elemento pode ser expressa como,

∆ E e l e m e n t o = E t + ∆ t - E t

= m c p ( T t + ∆ t - T t )

Sabemos que:

m = ρ V

m = ρ ( 2 π r ∆ r )

Logo,

= ρ c p ( 2 π r ∆ r ) ∆ z ( T t + ∆ t - T t )

Passo 3

Substituindo na fórmula temos,

Q ˙ r + Q ˙ z - Q ˙ r + ∆ r - Q ˙ z + ∆ z = ρ c p ( 2 π r ∆ r ) ∆ z ( T t + ∆ t - T t ) ∆ t

Divida a equação por 2 π r ∆ r , temos:

- 1 2 π r ∆ r Q ˙ r + ∆ r - Q ˙ r ∆ r -   1 2 π r ∆ r Q ˙ z + ∆ z - Q ˙ z ∆ z = ρ c p ( T t + ∆ t - T t ) ∆ t

Passo 4

A partir da definição da derivada e da lei de Fourier de condução de calor, temos:

lim ∆ r → 0 ⁡ 1 2 π r ∆ r Q ˙ r + ∆ r - Q ˙ r ∆ r = 1 2 π r ∆ r ∂ Q ∂ r = 1 2 π r ∆ r ∂ ∂ r - k 2 π r ∆ r ∂ T ∂ x =

= - 1 r ∂ ∂ r k r ∂ T ∂ r

lim ∆ z → 0 ⁡ 1 2 π r ∆ r Q ˙ z + ∆ z - Q ˙ z ∆ z = 1 2 π r ∆ r ∂ Q ˙ z ∂ r = 1 2 π r ∆ r ∂ ∂ z - k 2 π r ∆ r ∂ T ∂ z =

= - ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z

Juntando as equações, temos:

1 r ∂ ∂ r k r ∂ T ∂ r + ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z = ρ c p ∂ T ∂ t

Uma vez que o material possui condutividade térmica constante.

k 1 r ∂ ∂ r r ∂ T ∂ r + k ∂ ∂ z ∂ T ∂ z = ρ c p ∂ T ∂ t

1 r ∂ ∂ r r ∂ T ∂ r + ∂ 2 T ∂ z 2 = ρ c p k ∂ T ∂ t

a difusividade térmica do material é   ∝ = k ρ c p . Logo,

1 r ∂ ∂ r r ∂ T ∂ r + ∂ 2 T ∂ z 2 = 1 ∝ ∂ T ∂ t

Como estamos trabalhando em um estado estacionário ∂ T ∂ t = 0 .

1 r ∂ ∂ r r ∂ T ∂ r + ∂ 2 T ∂ z 2 = 0

Assim, a equação bidimensional de condução de calor em estado estacionário em coordenadas cilíndricas para o anel sem geração de calor é

1 r ∂ ∂ r r ∂ T ∂ r + ∂ 2 T ∂ z 2 = 0

Resposta

1 r ∂ ∂ r r ∂ T ∂ r + ∂ 2 T ∂ z 2 = 0

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