30 – A partir do balanço de energia do elemento de volume em forma de anel, derive a equação de condução de calor bidimensional permanente em coordenadas cilíndricas para , com condutividade térmica constante e sem geração de calor.

Considere um elemento de volume fino em forma de anel, de largura z e espessura r em um cilindro. Escreva a equação do balanço de energia no elemento anelar por um pequeno intervalo  no estado estacionário e sem geração de calor com o sistema bidimensional.

Onde:

é a energia térmica em r

é a energia térmica em z

é a energia térmica em

é a energia térmica em

é a energia térmica total adquirida pelo elemento

A mudança de energia no elemento pode ser expressa como,

Sabemos que:

Logo,

Substituindo na fórmula temos,

Divida a equação por , temos:

A partir da definição da derivada e da lei de Fourier de condução de calor, temos:

Juntando as equações, temos:

Uma vez que o material possui condutividade térmica constante.

a difusividade térmica do material é. Logo,

Como estamos trabalhando em um estado estacionário .

Assim, a equação bidimensional de condução de calor em estado estacionário em coordenadas cilíndricas para o anel sem geração de calor é