41 – Calor é gerado em um fio extenso de raio r 0 a uma taxa constante de e ˙ g e r por unidade de volume. O fio está coberto por uma camada isolante de plástico. Expresse a condição de contorno de fluxo de calor na interface em termos de calor gerado.

Passo 1

Dados:

O raio do fio é  r 0

A geração de calor a uma taxa constante por unidade de volume é  e ˙ g e r a d o

O fio é coberto com isolamento plástico

Passo 2

Seja L o comprimento do fio, o volume do fio longo se tornará

V f i o = π r 0 2 L

E a superfície é do fio é

A = 2 π r 0 L

O calor total do fio se torna

Q ˙ = e ˙ g e r a d o V f i o

= e ˙ g e r a d o ( π r 0 2 L )

O fluxo de calor na interface se torna

q ˙ s = Q ˙ A

= e ˙ g e r a d o ( π r 0 2 L ) 2 π r 0 L

e ˙ g e r a d o r 0 2

Passo 3

Assumindo uma condução de calor unidimensional constante na direção radial, a condição de limite do fluxo de calor na interface ( r 0 ) em termos de geração de calor pode ser expressa como o calor gerado dentro desse fio de raio  r 0 deve ser igual ao calor conduzido através de seu exterior superfície.

Da lei de condução de calor de Fourier

- k d T r 0 d r = e ˙ g e r a d o r 0 2

Portanto, a condição de limite do fluxo de calor na interface em termos de geração de calor pode ser expressa como  - k d T r 0 d r = e ˙ g e r a d o r 0 2

Resposta

- k d T r 0 d r = e ˙ g e r a d o r 0 2

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