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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 107

Uma pequena esfera de chumbo de 3,0 mm de diâmetro é resfriada da temperatura média de 200 °C para 54 °C, sendo largada em uma coluna alta preenchida com ar a 27 °C e 101,3 kPa. Pode-se supor que a velocidade terminal V 1 da esfera é atingida rapidamente de tal forma que toda a queda da esfera ocorre a esta velocidade constante, calculada a partir de:

V 1 = 2 ρ - ρ a r V g C D ρ a r A ρ 0,5

Onde V = volume da esfera, g = 9,81 m s 2 , ρ a r = d e n s i d a d e   d o   a r   1,18 k g m 3 ,   C D = coeficiente de arrasto (dado como 0,40), e A p = á r e a   p r o j e t a d a   d a   e s f e r a   π D 2 4 .

As propriedades do chumbo são ρ = 11300   k g / m 3 , k = 33   W / m ⋅ K e c p = 0,13   k J / k g ⋅ K

  1. Estime a velocidade terminal V 1 da esfera.
  2. Calcule o coeficiente de transferência de calor para a esfera de chumbo na sua temperatura média.
  3. Calcule a altura da coluna para o resfriamento indicado da esfera de chumbo

Passo 1

Vamos lá! Vamos começar por colocar as nossas hipóteses do problema. Isto é, as considerações que iremos fazer! Sendo assim, temos uma operação em regime permanente, em que consideraremos o ar com o um gás ideal e também desconsideraremos o efeito da radiação.

Agora sim, podemos partir para a questão em si. A nossa primeira pergunta é como calcular a velocidade terminal da esfera. Parece uma pergunta difícil, se não nos fosse dado a fórmula pronta!

Entãooo! Basta substituirmos os valores das constantes na fórmula da questão! Logo, a nossa resposta é:

V 1 = 2 ρ - ρ a r V g C D ρ a r A ρ 0,5 = 2 ρ - ρ a r π D 3 6 g C D ρ a r π D 2 4 0,5 = 2 ρ - ρ a r g C D ρ a r ⋅ 2 D 3 0,5

V 1 = 2 11300 - 1,18 ⋅ 9,81 0,4 ⋅ 1,18 ⋅ 2 ⋅ 0,003 3 0,5 = 30,65   m / s  

E assim finalizamos a letra a).

Passo 2

Agora, vamos calcular o coeficiente de transferência de calor h . Mas para isto, é necessário fazermos uma série de correlações. Então, vamos com calma para não nos perdemos!

Para descobrirmos h , precisamos do número de Nusselt. Para descobrirmos Nusselt, precisamos do número de Reynolds e de Prandt. E para calcular cada um destes parâmetros, precisamos de várias propriedades do ar!

Ufa, é muita coisa mesmo! Vamos começar pelo número de Prandt. Para ele, podemos utilizar o valor fornecido pela tabela A-15 do livro. Interpolando, obtemos aproximadamente:

P r = 0,7290

Já o número de Reynolds é calculado por:

R e = V D ν = 30,65 ⋅ 0,003 1,580 ⋅ 10 - 5 = 5819

Lembrando que ν é a viscosidade cinemática também extraída da tabela A-15. Agora, vamos relacionar simultaneamente o número de Nusselt com o coeficiente h . Logo,

N u = h D k a r = 2 + 0,4 ⋅ R e 0,5 + 0,06 ⋅ R e 2 / 3 P r 0,4 μ ∞ μ s 1 / 3  

h = k a r D ⋅ 2 + 0,4 ⋅ R e 0,5 + 0,06 ⋅ R e 2 3 P r 0,4 μ ∞ μ s 1 3

Detalhes que esta equação é para o escoamento sobre uma esfera recomendada por Whitaker e as propriedades μ ∞ e μ s consistem na viscosidade dinâmica, também obtidas da tabela A-15. Portanto, o valor do coeficiente h é:

h = 0,02566 0,003 ⋅ 2 + 0,4 ⋅ 5819 0,5 + 0,06 ⋅ 5819 2 3 0,7290 0,4 1,858 ⋅ 10 - 5 2,292 ⋅ 10 - 5 1 3

h = 368   W / m 2 ⋅ K

Passo 3

Agora, devemos calcular a altura da coluna de resfriamento para a esfera. Para isto, precisamos saber o tempo necessário para ela resfriar e multiplicar pelo valor da velocidade descoberto lá no Passo 1.

Mas como descobriremos este tempo? Então, para poder responder esta pergunta, vamos ter que voltar para o assunto do capítulo 4, condução de calor em regime transiente.

Vamos calcular o número de Biot para saber se podemos fazer aquela análise de sistemas concentrados. Começando pelo comprimento característico, temos:

L c = V A s = π D 3 6 π D 2 = D 6 = 0,0005   m

Portanto, o número de Biot é dado por:

B i = h L c k = 368 ⋅ 0,0005 33 = 0,00558

Como o número de Biot foi menor que 0,1, podemos fazer sim a análise de sistemas concentrados. Lá, aprendemos que o tempo de resfriamento pode ser calculado através da seguinte função:

T t - T ∞ T i - T ∞ = e - h A ρ c p L c t

54 - 27 200 - 27 = e - 368 11300 ⋅ 130 ⋅ 0,0005 t

0,156 = e - 0,501 ⋅ t

t = 3,71   s

Por fim, a altura da coluna de resfriamento é:

A l t u r a = V 1 ⋅ Δ t = 30,65 ⋅ 3,71 = 113,7   m

E assim finalizamos a nossa questão!

Resposta

  1. A velocidade terminal é:

    2. V 1 = 30,65   m / s  

  2. O coeficiente de transferência de calor é:

    3. h = 368   W / m 2 ⋅ K

  3. A altura da coluna de resfriamento é:

A l t u r a = 113,7   m

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