Usando cilindro, esfera e cubo como exemplos, mostre que a taxa de transferência de calor é inversamente preporcional à dimensão nominal do objeto. Ou seja, a transferência de calor por unidade de área aumenta à medida que o tamanho do objeto diminui.

Passo 1

A fórmula geral de fluxo de calor é:

F l u x o = q ˙ A s = - k ∂ T ∂ y

Em que A s é a área superficial e y é a direção em que ocorre a transferência de calor.

O que vamos fazer é escrever esta mesma fórmula para as três geometrias (cilindro, esfera e cubo) para demonstrar que o fluxo é inversamente proporcional às dimensões nominais do objeto ( r para cilindro e esfera, L para o cubo).

Vamos começar pela esfera:

Em uma esfera a transferência de calor ocorre na direção r . Além disso, sabemos que a área superficial de uma esfera é A s = 4 π r 2 . Vamos substituir essas duas informações na equação geral:

q ˙ 4 π r 2 = - k ∂ T ∂ r  

q ˙ 4 π r 2 ∂ r = - k ∂ T

Imaginando que a transferência de calor ocorra de um raio r 1 até r 2 , com temperaturas T 1 e T 2 , respectivamente, vamos integrar os dois lados da equação:

∫ r 1 r 2 q ˙ 4 π r 2 ∂ r = ∫ T 1 T 2 - k ∂ T

- q ˙ 4 π 1 r r 1 r 2 = - k ( T 2 - T 1 )

q ˙ = 4 π k T 2 - T 1 1 r 2 - 1 r 1

q ˙ = 4 π r 1 r 2 k T 2 - T 1 r 1 - r 2

Vamos dividir essa equação pela área da esfera ( 4 π r 2 2 ) para transformar q ˙ em fluxo:

F l u x o = q 4 π r 2 2 ˙ = 4 π r 1 r 2 k T 2 - T 1 4 π r 2 2 r 1 - r 2

F l u x o = r 1 r 2 k T 2 - T 1 r 1 - r 2

Pela equação podemos ver que quanto maior o tamanho da esfera (ou seja, quanto maior for r 2 ), menor será o fluxo. Portanto, o fluxo é inversamente proporcional ao tamanho da esfera.

Passo 2

Vamos agora pensar o mesmo problema para uma geometria cilíndrica.

Em um cilindro a transferência de calor ocorre na direção r . Além disso, sabemos que a área superficial de um cilindro é A s = 2 π r L . Vamos substituir essas duas informações na equação geral:

q ˙ 2 π r L = - k ∂ T ∂ r  

q ˙ 2 π r L ∂ r = - k ∂ T

Imaginando que a transferência de calor ocorra de um raio r 1 até r 2 , com temperaturas T 1 e T 2 , respectivamente, vamos integrar os dois lados da equação:

∫ r 1 r 2 q ˙ 2 π r L ∂ r = ∫ T 1 T 2 - k ∂ T

q ˙ 2 π L ln ⁡ r r 1 r 2 = - k ( T 2 - T 1 )

q ˙ = - 2 π k L T 2 - T 1 ln ⁡ r 2 - ln ⁡ r 1

q ˙ = - 2 π k L T 2 - T 1 ln ⁡ r 2 r 1

Vamos dividir essa equação pela área da esfera ( 2 π r 2 L ) para transformar q ˙ em fluxo:

F l u x o = q 2 π r 2 L ˙ = - 2 π k L T 2 - T 1 2 π r 2 L ln ⁡ r 2 r 1

F l u x o = - 1 r 2 k T 2 - T 1 ln ⁡ r 2 r 1

Pela equação podemos ver que quanto maior o tamanho do cilindro (ou seja, quanto maior for r 2 ), menor será o fluxo. Portanto, o fluxo é inversamente proporcional ao tamanho do cilindro.

Passo 3

Por fim, vamos considerar a transferência de calor unidimensional em um cubo.

Em um cubo, a transferência de calor ocorre na direção y . Além disso, sabemos que a área superficial de um lado do cubo é A s = y 2 . Vamos substituir essas duas informações na equação geral:

q ˙ y 2 = - k ∂ T ∂ y  

q ˙ y 2 ∂ y = - k ∂ T

Imaginando que a transferência de calor ocorra de determinado y 1 até y 2 , com temperaturas T 1 e T 2 , respectivamente, vamos integrar os dois lados da equação:

∫ y 1 y 2 q ˙ y 2 ∂ y = ∫ T 1 T 2 - k ∂ T

- q ˙ 1 y y 1 y 2 = - k ( T 2 - T 1 )

q ˙ = k T 2 - T 1 1 y 2 - 1 y 1

q ˙ = y 1 y 2 k T 2 - T 1 y 1 - y 2

Vamos dividir essa equação pela área de um lado do cubo ( y 2 2 ) para transformar q ˙ em fluxo:

F l u x o = q y 2 2 ˙ = y 1 y 2 k T 2 - T 1 y 2 2 y 1 - y 2

F l u x o = y 1 y k T 2 - T 1 y 1 - y 2

Pela equação podemos ver que quanto maior o tamanho do cubo (ou seja, quanto maior for y 2 ), menor será o fluxo. Portanto, o fluxo é inversamente proporcional ao tamanho do cubo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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