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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 181

Um pequeno motor de foguete, a combustível sólido, é testado em uma bancada. A câmara de combustão é circular, com 100   m m de diâmetro. O combustível, de massa específica 1660   k g / m 3 , queima uniformemente à taxa de 12,7   m m / s . Medições mostram que os gases de combustão saem do foguete para o ambiente com uma velocidade de 2750   m / s . A pressão e a temperatura absolutas na câmara de combustão são 7,0   M P a e 3610   K . Trate os produtos da combustão como um gás ideal com massa molecular 25,8 . Avalie as taxas de variação da massa e da quantidade de movimento dentro do motor do foguete. Expresse esta taxa de variação da quantidade de movimento como um percentual do empuxo do motor.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento incompressível;
  2. Escoamento com velocidade constante;
  3. Escoamento uniforme;
  4. Força de corpo desprezível.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

0 = d d t ∫ ρ g á s A   d x + d d t ∫ ρ c o m b A   d x + m ˙

- m ˙ = ρ g á s - ρ c o m b A v

m ˙ = ρ c o m b - ρ g á s A v

Passo 3

Possuímos ρ c o m b , A = π D 2 4 e velocidade de combustão, então precisamos calcular ρ g á s .

Como estamos consideramos um gás ideal, temos:

P V = m M M R T

P V = ρ g á s V R T M M

P = ρ g á s R T

ρ g á s = P ⋅ M M R T = 7 x 10 6 ⋅ 25,8 8314 ⋅ 3610 = 6,02   k g / m 3

Passo 4

Avaliando as taxas de variação da massa dentro do motor do foguete.

Voltando na equação do Passo 2 e substituindo os dados, temos:

ρ c o m b 1660   k g / m 3 ;

A = π D 2 4 = π ⋅ 0,1 2 4 = 7,85 x 10 - 3   m 2 ;

v = 0,0127   m / s ;

ρ g á s = 6,02   k g / m 3 .

Temos:

m ˙ = 1660 - 6,02 ⋅ 7,85 x 10 - 3 ⋅ 0,0127 = 0,165   k g / s

Passo 5

Avaliando as taxas de variação da quantidade de movimento dentro do motor do foguete.

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

F x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

d P x d t = u 1 - ρ V A

Com u 1 = v e ρ V A = m ˙ , temos:

d P x d t = - m ˙ v

Utilizando os dados obtidos:

d P x d t = - 0,165 ⋅ 0,0127 = - 2,1 x 10 - 3   N

Passo 6

Expressando a taxa de variação da quantidade de movimento como um percentual do empuxo do motor.

Calculando o empuxo:

R x = m ˙ ⋅ ( V s a í d a - v )

Sendo:

m ˙ = 0,165   k g / s ;

V s a í d a = 2750   m / s ;

v = 0,0127   m / s .

Temos:

R x = 0,165 ⋅ ( 2750 - 0,0127 ) = 453,7   N

Passo 7

Por fim, a razão é dada por:

d P x d t R x = - 2,1 x 10 - 3 453,7 = - 4,63 x 10 - 6

Resposta

m ˙ = 0,165   k g / s

d P x d t = - 2,1 x 10 - 3   N

d P x d t R x = - 4,63 x 10 - 6

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