Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 4
Uma placa retangular bidimensional está sujeita às condições de contorno mostradas. Derive expressões para a distribuição de temperatura em estado estacionário e a distribuição de fluxo de calor em estado estacionário para .
Passo 1
Fala Pessoal!! Vem comigo fazer mais uma questão!!
Estamos interessados na distribuição de temperaturas , a equação diferencial é a seguinte:
Como a equação é de segunda ordem em x e em y, duas condições de contorno são necessárias para cada uma das coordenadas. São elas
A solução pretendida pode ser escrita como o produto de duas funções, uma delas dependente somente de e a outra somente de . Isto é, consideramos a existência de uma solução com a forma
Substituindo na Equação 1 e dividindo por , obtemos
a equação diferencial é separável. Isto é, o lado esquerdo da equação depende somente de e o lado direito depende exclusivamente de . A igualdade se aplica somente se ambos os lados forem iguais a uma mesma constante. Podemos arbitrar, por , temos então
As soluções gerais para duas equações ordinárias acima são, respectivamente
e, neste caso, a forma geral da solução bidimensional é
Aplicando a condição , fica evidente que . Além disso, em função da exigência de que , obtemos
que somente pode ser satisfeita se . Embora esta exigência também pudesse ser satisfeita tendo-se , isso resultaria em , o que não satisfaz a condição de contorno . Se agora usamos a exigência de que , obtemos
A única forma na qual essa condição pode ser satisfeita, exigi que assuma valores discretos para os quais . Esses valores devem, então, ter a forma
A solução desejada pode, agora, ser escrita como
Usando o fato de que
Combinando as constantes e reconhecendo que a nova constante pode depender de , obtemos
Contudo, como o problema é linear, uma solução mais geral pode ser obtida por uma superposição na forma
Para determinar de modo que satisfaça a condição de contorno restante, usamos as funções ortogonais com Equação 4.16. Temos que:
Observando que e integrando, temos que é o seguinte:
Substituindo temos:
Passo 2
a taxa de calor por unidade de espessura da placa ao longo da superfície inferior pode ser obtida pela seguinte expressão:
Da distribuição de temperatura
Substituindo a distribuição de temperatura na expressão encontrada, temos:
Integrando, temos: