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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 132

É preciso projetar sapatos que permitam a pessoas com até 80 kg caminhar sobre água doce ou água do mar. Os sapatos devem ser feitos de plástico injetado na forma de uma esfera,

uma bola de futebol americano, ou na forma de um pão italiano. Determine o diâmetro equivalente de cada sapato e comente as formas propostas sob o ponto de vista da estabilidade. Qual é sua avaliação para a facilidade de comercialização desses sapatos?

Passo 1

Bora lá! Temos que projetar dois sapatos capazes de caminhar sob a água doce ou água do mar, o primeiro tem um formato de bola de futebol americano e o segundo tem a forma de um pão intaliano.

Para poder calcular o volume desses sapatos vamos considerar o formato de bola de futebol americano como uma elisóide e o pão italiano é uma esfera, beleza?!

Seus volumes são dados por:

Bola de futebol americano:

V B = 4 3 π a b c

Esfera:

V E = 4 3 π r 3

Para que ambos fiquem em uma posição estável, temos o equilibrio das forças peso e de flutuação:

F P = F F

Isso é a mesma coisa que:

m g = ρ á g u a × V i m e r s o   × g

Vamos considerar que pessoa ande com metade do volume imerso:

m = ρ á g u a × V s a p a t o 2

Isolando o V s a p a t o :

V s a p a t o = m × 2 ρ á g u a

Agora vamos descobrir o diâmetro equivalente para o sapato com a forma de elipsóide:

Para descobrir o diâmetro equivalente a gente tem que comparar com o volume de uma esfera, então fazemos:

V B = V E

Substituindo:

4 3 π a b c 4 3 π r e q u i v a l e n t e 3

Arrumando:

a b c = r e q u i v a l e n t e 3

Mas:

r = D 2

Substituindo:

a b c = D e q u i v a l e n t e 3 6

Reescrevendo a fórmula para o volume do elipsóide:

V B = 4 3 π D e q u i v a l e n t e 3 6

Arrumando:

V B = 2 9 π D e q u i v a l e n t e 3

Substituindo na equação do balanço das forças:

2 9 π D e q u i v a l e n t e 3 = m × 2 ρ á g u a

Arrumando:

D e q u i v a l e n t e = 3 × m π ρ á g u a 3

Onde, D e q u i v a l e n t e = 6 a b c 3 .

Passo 2

Agora para o sapato com forma de esfera:

V E = 4 3 π r 3

Substituindo r por D e isolando D :

V E = 2 9 π D 3

Substituindo na equação do balanço das forças:

V E = 4 3 π D 3 6

Isolando D :

D = 3 × m π ρ á g u a 3

Onde D = 2 r .

Passo 3

Agora vamos calcular quanto seria esse diâmetro para o sapato no formato de elipsóide:

Supondo ρ á g u a = 1000   k g / m 3 e sabendo que m = 80   k g vamos substituir:

D e q u i v a l e n t e = 3 × 80 π 1000 3

Calculando:

D e q u i v a l e n t e = 1,89   m

Considerando que essa área do sapato é dividida pelo par, o diâmetro de um sapato deverá ser:

D e q u i v a l e n t e 2 = 0,945   m

Agora para o sapato no formato de esfera:

D = 3 × 80 π 1000 3

Calculando:

D = 1,89   m

Calculando o diâmetro para apenas um sapato:

D 2 = 0,945   m

Devido ao diâmetro equivalente dos dois sapatos, seria muito dificil uma pessoa andar de forma estável! Pois dependeria de uma pessoa andar com um sapato gigante! A mesma avaliação vai para a comercialização, seria inviável dado as suas dimensões!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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