Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 33

Do Problema P4.15, o escoamento puramente radial em coordenadas polares que satisfaz a continuidade é v r = f ( θ ) / r , em que f é uma função arbitrária. Determine quais as formas particulares de f ( θ ) que satisfazem as equações de Navier-Stokes completas na forma de coordenadas polares das Equações (D.5) e (D.6).

Passo 1

Beleza, vamo lá pra mais uma!

No apêndice D podemos encontrar essas equações ditas no enunciado, vo colocar elas aqui pra gente!

Equação da quantidade de movimento-r:

∂ v r ∂ t + V ⋅ ∇ v r - 1 r v θ 2 = - 1 ρ ∂ p ∂ r + g r + v ∇ 2 v r - v r r 2 - 2 r 2 ∂ v θ ∂ θ

Equação da quantidade de movimento- θ :

∂ v θ ∂ t + V ⋅ ∇ v θ - 1 r v θ v r = - 1 ρ r ∂ p ∂ θ + g θ + v ∇ 2 v θ - v θ r 2 - 2 r 2 ∂ v r ∂ θ

Bora colocar nossa v r ai dentro de cada um! Iremos obter o seguinte, nas equações em r e em θ , respectivamente:

∂ p ∂ r = ρ r 3 f 2 + μ r 3 f ' '

∂ p ∂ θ = 2 μ r 2 f '

Passo 2

Utilizando o Teorema de Clairaut-Schwarz para fazer uma derivada cruzada, chegaremos na seguinte equação diferencial, da uma olhadela:

μ f ' ' ' + 2 ρ f f ' + 4 μ f ' = 0

Vamos ter dois tipos de solução para essa EDO, uma mais tranquila a outra o cão chupando manga, teremos uma sendo:

f = c o n s t a n t e → v r = c o n s t a n t e r

Já a outra solução e uma solução elíptica integral, elas variam em muitas formas com θ , vão representar o fluxo Jeffery-Hamel!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere um campo de velocidade permanente, bidimensional, incompressível, irrotacional especificado por sua funçãopotencial de velocidade, ϕ=5 ( x 2 — y 2 ) + 2 x—4 y . (a) Calcule as componentes da
Neste capítulo, descrevemos o escoamento irrotacional axissimétrico em termos de coordenadas cilíndricas r e z e componentes de velocidade u r e u z . Surge uma descrição altemativa do escoamento axis
Compare a separação de escoamento para uma camada laminar versus camada limite turbulenta. Especificamente, qual dos casos é mais resistente à separação de escoamento? Por quê? Com base na sua respost
Explique a diferença entre um gradiente de pressão favorável e adverso em uma camada limite. Em qual dos casos a pressão aumenta a jusante? Por quê?
Discuta a implicação de um ponto de inflexão em um perfil da camada limite laminar versus camada limite turbulenta. Especificamente, a existência de um ponto de inflexão provoca um gradiente de pressã