Na produção de folhas metálicas ou plásticas, é costume resfriar o material antes que ele deixe o processo de produção para armazenamento ou embarque para o cliente. Tipicamente, o processo é contínuo, com uma folha de espessura e largura sendo resfriada enquanto transita por uma distância L, com uma velocidade V, entre dois rolos. Neste problema, consideramos o resfriamento de uma liga de alumínio (2024-T6) por uma corrente de ar, que se move a uma velocidade no sentido oposto ao da velocidade da folha e sobre a sua superfície superior. Um promotor de turbulência é usado para propiciar um desenvolvimento de camada-limite turbulenta sobre toda a superfície.

1. Aplicando a conservação de energia em uma superfície de controle diferencial de comprimento , que se move com a folha ou está estacionária e através da qual a folha passa, deduza uma equação diferencial que governe a distribuição de temperaturas ao longo da folha. Em função da baixa emissividade do alumínio, os feitos radiantes podem ser desprezados. Escreva o seu resultado em termos da velocidade, da espessura e das propriedades da folha , do coeficiente convectivo local , associado ao escoamento oposto e da temperatura do ar. Para uma temperatura da folha no início do resfriamento conhecida e influência desprezível da velocidade da folha no desenvolvimento da camada-limite, resolva a equação e obtenha uma expressão para a temperatura na saída .
2. Para , , , , , e , qual é a temperatura na saída ?

Agora, quem é o termo que entre e quem é o que sai? O termo que entre é a energia do elemento na posição . Este termo é:

E qual é o termo que sai? É devido a ação da convecção e também a parte devido a energia do elemento. Então, temos:

Portanto, o nosso balanço de energia é:

E esta é nossa equação diferencial.

OBS: vocês podem ter estranhado os termos de energia do elemento e achados eles bastante semelhantes ao termo de acúmulo de energia. E sim, estão corretos.

Só que nós só podemos considerar eles como termo de acúmulo se estivermos em regime transiente. E para que isto ocorra, o nosso volume de controle deve se mover com a folha. Neste caso só teríamos o termo de saída devido a convecção e o termo de acúmulo.

Agora, vamos resolver a nossa equação diferencial para expressar a temperatura de saída . Para isto, vamos separar as diferenciais. Logo,

Integrando a equação acima do ponto inicial e até o ponto final e , temos:

Multiplicando o segundo membro por , temos

Fizemos isto para que o segundo membro seja exatamente o coeficiente médio de transferência de calor. Então, temos:

E assim terminamos de resolver nossa equação diferencial.

Agora precisamos resolver a equação obtida no final do Passo 3 para o caso particular dado. Dentre todos os coeficientes, aquele que nos falta calcular é o coeficiente de transferência de calor.

Então, vamos calcula-lo agora, começando pelas propriedades do ar e do alumínio. Vamos supor que a temperatura de saída é aproximadamente 150 °C. Com isto, a temperatura média do alumínio é aproximadamente 225 °C (usaremos este dado para pegar os valores do alumínio na tabela).

Já em relação ao ar, o qual está a 1 atm, vamos considerar as temperaturas de 20 °C e a temperatura da superfície média de 225 °C. Com isto, . Por conveniência, usaremos .

Agora, indo na tabela , pegamos os seguintes valores do alumínio: , , . Já para o ar, utilizando a tabela , temos: , , .

Então, com estes valores, vamos calcular o coeficiente médio de transferência de calor.

Calculando o número de Reynolds, temos:

Portanto, o coeficiente de transferência de calor médio é:

Para finalizarmos a questão, só substituir os valores na equação da temperatura obtida no Passo 3, e obter a temperatura . Então, temos:

OBS: este valor foi um pouco diferente dos 150 °C que supomos no decorrer da questão. Entretanto, não precisamos repetir a questão com este valor de entrada. Não precisamos fazer isto pois, as variações das propriedades do alumínio e do ar será pouca!