Na produção de folhas metálicas ou plásticas, é costume resfriar o material antes que ele deixe o processo de produção para armazenamento ou embarque para o cliente. Tipicamente, o processo é contínuo, com uma folha de espessura e largura sendo resfriada enquanto transita por uma distância L e com uma velocidade V entre dois rolos. Neste problema, consideramos o resfriamento de aço carbono não ligado por uma corrente de ar, que se move a uma velocidade em escoamento cruzado sobre as superfícies superior e inferior da folha. Um promotor de turbulência é usado para propiciar um desenvolvimento de camada-limite turbulenta sobre toda a superfície.

1. Aplicando a conservação de energia em uma superfície de controle diferencial de comprimento , que se move com a folha ou é estacionária e através da qual a folha passa, e supondo uma temperatura da folha uniforme na direção do escoamento do ar, deduza uma equação diferencial que governe a distribuição de temperatura , ao longo da folha. Considere os efeitos radiantes, assim como os convectivos, e escreva o seu resultado em termos de velocidade, da espessura e das propriedades da folha , do coeficiente convectivo médio associado ao escoamento cruzado e as temperaturas ambientes .
2. Desprezando a radiação, obtenha uma solução em forma fechada para a equação anterior. Para , , , , , , e uma temperatura da folha no início do resfriamento de , qual é a temperatura na saída ? Suponha influência desprezível da velocidade da folha no desenvolvimento da camada-limite do escoamento do ar. A massa específica e o calor específico da folha são e , enquanto as propriedades do ar podem ser consideradas iguais a , , .
3. Levando em conta os efeitos da radiação, com e , integre numericamente a equação diferencial deduzida na parte (a) e determine a temperatura da folha em . Estude o efeito de na distribuição de temperaturas ao longo da folha.

Agora, quem é o termo que entre e quem é o que sai? O termo que entre é a energia do elemento na posição . Este termo é:

E qual é o termo que sai, que está na posição ? É devido a ação da convecção, da radiação e também a parte devido a energia do elemento. Então, temos:

Detalhe para o . É multiplicado por 2 pois temos duas superfícies, e ele engloba o termo de convecção e radiação. Continuando,

Portanto, o nosso balanço de energia é:

E esta é nossa equação diferencial, respondendo a letra a).

OBS: vocês podem ter estranhado os termos de energia do elemento e achados eles bastante semelhantes ao termo de acúmulo de energia. E sim, estão corretos.

Só que nós só podemos considerar eles como termo de acúmulo se estivermos em regime transiente. E para que isto ocorra, o nosso volume de controle deve se mover com a folha. Neste caso só teríamos o termo de saída devido a convecção e radiação, e o termo de acúmulo.

Agora vamos resolver a letra b). Para isto, precisamos resolver a equação diferencial, desconsiderando a parte da radiação. Portanto, temos:

Para obtermos uma solução fechada para a equação diferencial acima, vamos integrar do ponto inicial e até o ponto final e , temos:

Fizemos isto para que o segundo membro seja exatamente o coeficiente médio de transferência de calor. Então, temos:

E assim obtemos uma solução fechada.

Para finalizarmos a letra b), precisamos substituir os valores das constantes. Entretanto, nos falta o coeficiente de transferência de calor médio. Então, vamos obtê-lo primeiramente.

Como estamos em regime turbulento (a questão informou), basta aplicarmos a seguinte relação

Calculando o número de Reynolds, temos:

Portanto, o coeficiente de transferência de calor médio é:

Portanto, a temperatura será obtida quando na seguinte equação:

E assim acabamos de resolver a letra b)

Para resolvermos a letra c), vamos precisar de algum auxílio computacional para poder resolver a integral.

Mas será se realmente precisa disto tudo? E qual o motivo?

Bom... lembra no início da letra b) (Passo3) que dizemos para desconsiderar o termo de radiação e integrar? Pois é, vamos ter que considerar agora. Então, temos que resolver a seguinte equação diferencial:

Com todos os valores das constantes que usamos no Passo 4, mais o termo , e (não esqueça que sempre que trabalhamos com radiação, temos que colocar a temperatura em Kelvin!).

Agora fica fácil ver que é uma integral bastante difícil de ser resolvida, não é? Então, se resolvermos numericamente, vamos obter o seguinte valor para a temperatura: