Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 10

A regra do produto pode ser aplicada ao divergente do escalar f vezes o vetor G → como: ∇ → . f G → = G → . ∇ → f + f ∇ → . G → . Expanda ambos os lados desta equação em coordenadas cartesianas e verifique se está correta.

Passo 1

Faaaaaala galerinhaa !!

Vamos para mais umaa??

Sabendo que:

G → = G x i + G y j + G z k

∇ → = ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k

Portanto o divergente em coordenadas cartesianas serão:

∇ →   .   f G → = ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k . f G x i + G y j + G z k

∇ →   .   f G → = ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k . f G x i + f G y j + f G z k

Multiplicando os termos nas suas respectivas direções:

∇ →   .   G → = ∂ ∂ x f G x + ∂ ∂ y f G y + ∂ ∂ z f G z

Se lembram da Regra do Produto?

“Derivada da primeira vezes a segunda mais a derivada da segunda vezes a primeira!”

Vamos aplicar?

∇ →   .   G → = G x ∂ f ∂ x + f ∂ G x ∂ x + G y ∂ f ∂ x + f ∂ G y ∂ x + G z ∂ f ∂ x + f ∂ G z ∂ x

Já achamos o primeiro termo da igualdade, vamos ver o segundo?

Passo 2

No segundo termo:

G → . ∇ → f + f ∇ → . G →

Fazendo de maneira similar ao anterior:

G → . ∇ → f + f ∇ → . G → = G x i + G y j + G z k . ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k + f ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k . G x i + G y j + G z k

Fazendo as multiplicações da mesma forma que no Passo 1:

G → . ∇ → f + f ∇ → . G → = G x ∂ f ∂ x + G y ∂ f ∂ y + G z ∂ f ∂ z + f ∂ G x ∂ x + ∂ G y ∂ y + ∂ G z ∂ z

= G x ∂ f ∂ x + G y ∂ f ∂ y + G z ∂ f ∂ z + f ∂ G x ∂ x + f ∂ G y ∂ y + f ∂ G z ∂ z

Reorganizando:

G → . ∇ → f + f ∇ → . G → = G x ∂ f ∂ x + f ∂ G x ∂ x + G y ∂ f ∂ x + f ∂ G y ∂ x + G z ∂ f ∂ x + f ∂ G z ∂ x

Portanto:

∇ →   .   G → = G → . ∇ → f + f ∇ → . G → = G x ∂ f ∂ x + f ∂ G x ∂ x + G y ∂ f ∂ x + f ∂ G y ∂ x + G z ∂ f ∂ x + f ∂ G z ∂ x

Até que foi legal, não foi?

Resposta

∇ →   .   G → = G → . ∇ → f + f ∇ → . G → = G x ∂ f ∂ x + f ∂ G x ∂ x + G y ∂ f ∂ x + f ∂ G y ∂ x + G z ∂ f ∂ x + f ∂ G z ∂ x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A hole is placed in the front of a cylinder to measure thestream velocity of sea-level fresh water. The measuredpressure at the hole is 2840 lbf/ft2. If the hole is misalignedby 128 from the stream, a
A uniform stream, U∞ 5 4 m/s, approaches a Rankine ovalas in Fig. 8.13, with a 5 50 cm. Find the strength m of thesource–sink pair, in m2/s, which will cause the total lengthof the oval to be 250 cm.
The Transition® car-plane in Fig. 7.30 has a gross weight of1430 lbf. Suppose we replace the wing with a 1-ft-diameterrotating cylinder 20 ft long. (a) What rotation rate fromFig. 8.15, in r/min, woul
The Flettner rotor sailboat in Fig. E8.3 has a water dragcoefficient of 0.006 based on a wetted area of 45 ft2. If therotor spins at 220 r/min, fi nd the maximum boat velocitythat can be achieved in a
Hurricane Sandy, which hit the New Jersey coast on Oct.29, 2012, was extremely broad, with wind velocities of40 mi/h at 400 miles from its center. Its maximum velocitywas 90 mi/h. Using the model of F