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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 127

Repita o Prob 4-126 para geometrias de ferro fundido ( k   =   50   W / m . ° C   e   α   =   1,57 x 10 - 5 m ² / s ).

Passo 1

Vamos analisar o enunciado juntos e entender o que o problema quer de você.

Temos três sólidos de geometrias diferentes submetidos às mesmas condições e queremos comparar as temperaturas do centro nas três geometrias em 10 e 20 m i n .

As três geometrias têm o mesmo comprimento característico L c = 0,0125   m ., que utilizaremos barra calcular os números de Biot e Fourier nos próximos passos.

Devemos utilizar as seguintes equações para calcular a temperatura no centro das geometrias:

ϴ p a r e d e p l a n a ( 0 ,   t ) =   A 1 e - λ 1 ² τ

ϴ c i l i n d r o ( 0 , t ) =   A 1 e - λ 1 ² τ ⁡

ϴ e s f e r a ( 0 ,   t ) =   A 1 e - λ 1 ² τ

Agora, pra gente não se perder, vamos guardar as propriedades que vamos usar nos próximos passos:

T i = 200   ° C     T ∞ = 25   ° C   k   =   50   W / m . ° C α   = 1,57 x 10 - 5 m ² / s

Passo 2

Primeiro, devemos calcular o número de Biot para as três geometrias:

B i p a r e d e p l a n a = B i c i l i n d r o = B i e s f e r a =   h L c k =   ( 40   W / m ² . ° C ) ( 0,0125   m ) 50   W / m . ° C =   0,01  

Vamos agora na Tabela 4-2 (página 239) para calcular os valores de A 1 e λ 1 para as três geometrias.

B i p a r e d e p l a n a =   0,01 →   λ 1 = 0,0998   A 1 = 1,0017

B i c i l i n d r o =   0,01   →   λ 1 = 0,1412     A 1 = 1,0025

B i e s f e r a =   0,01   →   λ 1 = 0,1730     A 1 = 1,0030

Passo 3

Vamos resolver para t = 10 min ⁡ = 600   s . Calculando o número de Fourier:

τ p a r e d e p l a n a =   τ c i l i n d r o = τ e s f e r a = α t L c ² =   ( 1,57 x 10 - 5 m ² / s ) ( 600   s ) ( 0,0125   m ) ² = 60,3

Substituindo nas equações que eu te mostrei no passo anterior:

ϴ p a r e d e p l a n a 0 ,   10   m i n = 1,0017 e - 0,0998 2 60,3 = 0,5494

ϴ c i l i n d r o 0,10   m i n = 1,0025 e - 0,1412 2 60,3 = 0,3013 ⁡

ϴ e s f e r a 0 ,   10   m i n = 1,0030 e - 0,1730 2 60,3 =   0,1650

Calculando as temperaturas:

T 0,10   m i n - 25   ° C 200   ° C - 25   ° C p a r e d e p l a n a =   0,5494 →     T 0,10   m i n = 121,15   ° C

T 0,10   m i n - 25   ° C 200   ° C - 25   ° C c i l i n d r o =   0,3013 ⁡ →     T 0,10   m i n = 77,72   ° C

T 0,10   m i n - 25   ° C 200   ° C - 25   ° C e s f e r a =   0,1650 ⁡ →     T 0,10   m i n = 53,88   ° C

Passo 4

Vamos resolver para t = 20 min ⁡ = 1200   s . Calculando o número de Fourier:

τ p a r e d e p l a n a =   τ c i l i n d r o = τ e s f e r a = α t L c ² =   ( 1,57 x 10 - 5 m ² / s ) ( 1200   s ) ( 0,0125   m ) ² = 120,6

Substituindo nas equações que eu te mostrei no passo anterior:

ϴ p a r e d e p l a n a 0 ,   20   m i n = 1,0017 e - 0,0998 2 120,6 = 0,3013

ϴ c i l i n d r o 0,20   m i n = 1,0025 e - 0,1412 2 120,6 = 0,0905 ⁡

ϴ e s f e r a 0 ,   20   m i n = 1,0030 e - 0,1730 2 120,6 =   0,0271

Calculando as temperaturas:

T 0,20   m i n - 25   ° C 200   ° C - 25   ° C p a r e d e p l a n a = 0,3013 →     T 0,10   m i n = 77,72   ° C

T 0,20   m i n - 25   ° C 200   ° C - 25   ° C c i l i n d r o = 0,0905 ⁡ →     T 0,10   m i n = 40 , 84   ° C

T 0,20   m i n - 25   ° C 200   ° C - 25   ° C e s f e r a =     0,0271 ⁡ →     T 0,10   m i n = 29,74   ° C

Resposta

As temperaturas no centro para cada geometria encontram-se calculadas nos passos anteriores.

Além disso, a explicação para a temperatura no centro da esfera ser sempre menor é que sua área específica (área superficial por volume) é maior para a esfera, e sua transferência de calor é maior.

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