Válvulas de motor (k = 48 W/m.K, c p = 440 J/kg.K ρ = 7840 kg/m³) são aquecidos a 800 °C na seção de tratamento térmico de uma fábrica de válvulas. As válvulas são imersas em banho de óleo a uma temperatura média de 50 °C. O coeficiente de transferência de calor no banho de óleo é 800 W/m².K. As válvulas têm haste cilíndrica com diâmetro de 8 mm e comprimento de 10 cm. Pode-se considerar que a cabeça e a haste da válvula têm a mesma área de superfície e que o volume da cabeça da válvula é 80% do volume da haste. Determine o tempo para que a temperatura da válvula caia para (a) 400 °C, (b) 200 °C, (c) 51 °C e (d) a transferência de calor máxima a partir da única válvula.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado juntos e entender o que o problema quer de você.

Devemos considerar o sistema como a haste e cabeça da haste da válvula, sendo que a cabeça tem a mesma área superficial e o volume da cabeça é 80% do volume da haste. A dimensão característica do sistema todo é

L C = V A s =   1,8 ( π D ² L / 4 ) 2   π D L =   1,8 D 8 =   1,8 ( 0,008   m ) 8 = 0,0018   m

Vamos calcular, então, o Número de Biot para o problema:

B i =   h L k =   ( 800   W / m ² . K ) ( 0,0018   m ) 48   W / m . K = 0,03

É possível notar que o valor de B i é menor que 0,1 e, portanto, podemos reduzir o problema à análise de parâmetros concentrados, a partir da equação:

T t - T ∞ T i - T ∞ =   e - h ρ c P L C t

Para resolver o problema, usaremos as seguintes propriedades:

T i = 80 0   ° C   e   T ∞ = 5 0   ° C ρ   = 7840     k g / m ³ c P = 440   J / k g . K   k   = 48   W / m . K h =   800   W / m ² . K

Passo 2

Para calcular o tempo para que a água comece a descongelar, devemos antes calcular o valor do produto ρ C p a partir da relação:

α =   k   ρ C p →     ρ c p = k   α =   43   W / m . K 1,17 x 10 - 5   m ² / s =   3,68 x 10 6   J / m ³ . K

Substituindo na equação que vimos no Passo 1:

0   ° C - 80   ° C - 10   ° C - 80   ° C =   e - 40   W / m ² . K (   3,68 x 10 6   J / m ³ . K ) ( 0,02   m ) t → 0,889 = e - 5,43 x 10 - 4 t  

Aplicando ln em ambos os lados:

ln ⁡ 0,889 = ln ⁡ e - 5,43 x 10 - 4 t → - 0,1177 = - 5,43 x 10 - 4 t   → t = 216,8   s = 3,61   m i n  

Resposta

Como mostrando nos passos anteriores, o tempo para que a temperatura das placas atinja 0   ° C é de t = 216,8   s = 3,61   m i n .

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