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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 190

Repita o Problema 4.189, mas considerando a existência de um torque resistivo constante no pivô igual a 0,05   N ⋅ m . Que torque resistivo impediria o regador de girar?

Passo 1

Equação:

r × F s + ∫ V C r × g ρ d ∀ + T e i x o - ∫ V C r × 2 ω × V + ω × ω × r + ω × r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C r × V ρ d ∀ + ∫ S C r × V   ρ V d A

Considerações Iniciais:

  1. Fluxo Constante;
  2. Escoamento Uniforme;
  3. Escoamento Estacionário;

Passo 2

Dados:

R = 225   m m = 0,225   m ;

Q = 15   L / m i n = 0,00025 m 3 / s ;

A = π d 2 4 = π 0,005 2 4 = 1,96 x 10 - 5   m 2 ;

ρ = 1000   k g / m 3 ;

V = Q 2 A = 6,37   m / s ;

T = 0,05   N ⋅ m .

Passo 3

Realizando as considerações apresentadas no Passo 1, temos:

T 2 - ∫ V C r × g ρ d ∀ - ∫ V C r × 2 ω × V ρ d ∀ = ∫ S C r × V   ρ V d A

Substituindo r × g = r × r × α = r 2 α :

T 2 - ∫ V C r × 2 ω × V + r × α ρ d ∀ = ∫ S C r × V   ρ V d A

Integrando:

T 2 - ω R 2 V + α R 3 3 ρ A = R V ρ Q 2  

α = 3 2 ρ A R 3 T - 2 ω ρ A R V - ρ R Q V

Passo 4

Avaliando a velocidade de rotação em regime permanente, considerando que não haja atrito no pivô.

Quando α = 0 :

3 2 ρ A R 3 T - 2 ω ρ A R V - ρ R Q V = 0

T - 2 ω ρ A R V - ρ R Q V = 0

ω = - T - ρ R Q V 2 ρ A R 2 V

Substituindo os dados:

ω = - 0,05 - 1000 ⋅ 0,225 ⋅ 0,00025 ⋅ 6,37 2 ⋅ 1000 ⋅ 1,96 x 10 - 5 ⋅ 0,225 2 ⋅ 6,37 = - 23,4   r a d / s

r a d s = 9,55   r p m

ω = - 2 23,5   r p m

Passo 5

Calculando o torque resistivo impediria o regador de girar.

Com ω = 0 , temos:

T m á x = ρ R Q V

Substituindo os valores:

T m á x = 1000 ⋅ 0,225 ⋅ 0,00025 ⋅ 6,37 = 0,358   N ⋅ m

Resposta

T m á x = 0,358   N ⋅ m

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