Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 55
Repita o Problema 7-54, exceto que a velocidade do som em um gás ideal é considerada uma função da temperatura absoluta , da constante universal dos gases ideais da massa
molar (peso molecular) do gás e da razão dos calores específicos . Mostrando todo o seu trabalho, use a análise dimensional para encontrar a relação funcional entre esses parâmetros.
Passo 1
Vamos começar observando as principais diferenças dessa questão para a questão anterior!
O que é constante específica do gás ideal é trocado por que é a constante dos gases ideais para todos os gases e aparece a massa molar, .
Com isso vão aparecer novas dimensões básicas, portanto dessa vez não vai ser possível aproveitar a maior parte da resolução da questão anterior, como já fizemos em outras questões do tipo, beleza?
Então, vamos começar o nosso passo a passo listando os parâmetros relevantes que a gente tem:
Passo 2
Agora vamos escrever suas dimensões básicas:
; ; ; ;
Aqui aparece uma dimensão que a gente não ta tão acostumado a ver, que é , ele representa a quantidade de matéria. Em outras palavras, quando tiver a unidade “mol” a gente usa essa dimensão!
Passo 3
Usamos aqui dimensões diferentes para descrever o nosso problema, , então o primeiro palpite é !
Substituindo no teorema de Pi de Buckingham:
Opa, tem alguma coisa estranha! Como assim não tem nenhum grupo ?!
Vamos reduzir , agora
O problema é que para usar esse valor de precisariamos de variáveis repetentes, e das variáveis repetentes disponíveis só tem que tem dimensão, já que é adimensional!
Reduzindo mais uma vez, agora :
Aweee, agora foi! Vamos atrás desses dois grupos !
Passo 4
Já que vamos considerar precisamos encontrar nossos três parâmetros repetidos!
Relembrando nossos parâmetros:
De cara a gente já sabe que a gente não pode usar, pois ele é um parâmetro dependente! E é adimensional, então também não da!
Sobra pra a gente e !
Passo 5
Agora sim, vamos encontrar o nosso primeiro grupo . Começando com o que vai ser o dependente!
Organizando os nossos parâmetros a gente fica com:
Escrevendo suas dimensões básicas:
Agora equacionando:
Massa:
Temperatura:
Comprimento:
Se:
Poderiamos continuar e equacionar tempo e quantidade de matéria, mas como já temos os valores de e vamos parar por aqui!
Substituindo:
Arrumando:
O segundo grupo tem a variável , então, quando a gente for equacionar os expoentes eles vão zerar, isso porque eles sozinhos não são capazes de formar um número adimensional, então ficamos com:
Passo 6
Agora é só escrever a relação entre os grupos :
Prontinhooo!