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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 86

Repita o Problema 7-85, exceto por um parâmetro dependente diferente: o tempo necessário para esvaziar o tanque, t v a z i o . Gere uma relação adimensional para t v a z i o como função dos seguintes parâmetros independentes: diâmetro do orifício d , diâmetro do tanque D , densidade ρ , viscosidade μ , altura inicial da superfície líquida h e aceleração gravitacional g .

Passo 1

V = f ( d , D , ρ , μ , h ,   g )   n = 7

A lista de parâmetros relevantes fica:

t v a z i o = f ( d , D , ρ , μ , h ,   g )   n = 7

Se a gente comparar as duas listas de parâmetros relevantes a gente vê que a única diferença é na variável dependente, que deixou de ser velocidade e passou a ser tempo.

Vamos dar uma olhadinha nas dimensões primárias de todas as variáveis:

V = L 1 t - 1 ;   t v a z i o = t ;   d = L 1 ;   D = L 1 ;   ρ = m 1 L - 3 ;  

μ = m 1 L - 1 t - 1 ; h = L 1 ; g = { L 1 t - 2 }

Tanto na questão anterior como nessa o primeiro chute de j deve ser 3, pois em ambos casos as dimensões utilizadas são m ,   L e t .

Se a gente escolher as mesmas vaiáveis repetidas do problema anterior teremos todos os grupos π independentes iguais, o único que vai mudar vai ser o π dependente que agora vai ser com t v a z i o !

h ,   ρ ,   g

Passo 2

Vamos achar o π 1 dependente!

π 1 = 1 = { t v a z i o × h a × ρ b × g c }

Substituindo pelas dimensões primárias:

π 1 = m 0 L 0 t 0 = { t 1 × L a × ( m 1 L - 3 ) b × ( L 1 t - 2 ) c }

Equacionando os expoentes, temos:

Massa:

m 0 = m b

b = 0

Comprimento:

L 0 = L a × L - 2 b × L c

0 = a - 2 b + c

Tempo:

t 0 = t 1 × t - 2 c

0 = 1 - 2 c

c = - 1 2

Logo:

0 = a - 2 b + c

0 = a - 0 - 1 2

a = 1 2

Substituindo, temos:

π 1 = { t v a z i o × h 1 2 × ρ 0 × g - 1 2 }

Arrumando:

π 1 = t v a z i o h g

Passo 3

Relembrando os grupos π achados no exercício anterior:

π 2 = d h

π 3 = D h

π 4 = ρ h g h μ = R e

Escrevendo a relação entre eles:

t v a z i o h g = f ( d h , D h , R e )

Aweeee!!! Acabamos!!

Resposta

t v a z i o h g = f ( d h , D h , R e )

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